Топологическое пространство - это пространство, изученное в топологии, математике строения фигур. Грубо говоря, это совокупность вещей (называемых точками) вместе со способом узнать, какие вещи близки друг другу.
Точнее, в топологическом пространстве есть некий набор, называемый открытым набором. Открытые множества важны, потому что они позволяют говорить о точках рядом с другой точкой, называемой окрестностью точки. Соседство точки - это просто открытое множество, содержащее эту точку. Если у человека нет понятия открытых множеств, то он не может правильно определить окрестности. Если попытаться определить окрестности точки как любое множество, содержащее эту точку, то можно просто включить эту точку и только эту точку, а не точки, расположенные рядом с ней, или точки, расположенные далеко. У нас также есть понятие закрытых множеств, которые являются дополнениями открытых множеств. То есть все точки, не принадлежащие к определенным открытым множествам, образуют замкнутое множество.
Открытые сеты должны следовать определенным правилам, чтобы они соответствовали нашим представлениям о близости. Объединение любого количества открытых сетов должно быть открытым, а объединение конечного числа закрытых сетов должно быть закрытым. (Второе правило работает только для конечного числа закрытых множеств. Это связано с тем, что во многих случаях множество, содержащее одну единственную точку, является закрытым. Любое множество состоит из точек. Если второе правило применяется к бесконечному числу закрытых множеств, то каждое множество будет закрыто). В особом случае множество, содержащее каждую точку, является как открытым, так и закрытым. Множество, не содержащее ни одной точки, также является как открытым, так и закрытым.
Набор точек может иметь множество различных определений того, что такое открытое множество. Можно думать только об определенных множествах как об открытых, или о нескольких множествах как об открытых. Можно даже считать каждое множество открытым. Один и тот же набор с разными определениями открытых множеств образуют разные топологические пространства.