Топологическое пространство
Топологическое пространство - это пространство, изученное в топологии, математике строения фигур. Грубо говоря, это совокупность вещей (называемых точками) вместе со способом узнать, какие вещи близки друг другу.
Точнее, в топологическом пространстве есть некий набор, называемый открытым набором. Открытые множества важны, потому что они позволяют говорить о точках рядом с другой точкой, называемой окрестностью точки. Соседство точки - это просто открытое множество, содержащее эту точку. Если у человека нет понятия открытых множеств, то он не может правильно определить окрестности. Если попытаться определить окрестности точки как любое множество, содержащее эту точку, то можно просто включить эту точку и только эту точку, а не точки, расположенные рядом с ней, или точки, расположенные далеко. У нас также есть понятие закрытых множеств, которые являются дополнениями открытых множеств. То есть все точки, не принадлежащие к определенным открытым множествам, образуют замкнутое множество.
Открытые сеты должны следовать определенным правилам, чтобы они соответствовали нашим представлениям о близости. Объединение любого количества открытых сетов должно быть открытым, а объединение конечного числа закрытых сетов должно быть закрытым. (Второе правило работает только для конечного числа закрытых множеств. Это связано с тем, что во многих случаях множество, содержащее одну единственную точку, является закрытым. Любое множество состоит из точек. Если второе правило применяется к бесконечному числу закрытых множеств, то каждое множество будет закрыто). В особом случае множество, содержащее каждую точку, является как открытым, так и закрытым. Множество, не содержащее ни одной точки, также является как открытым, так и закрытым.
Набор точек может иметь множество различных определений того, что такое открытое множество. Можно думать только об определенных множествах как об открытых, или о нескольких множествах как об открытых. Можно даже считать каждое множество открытым. Один и тот же набор с разными определениями открытых множеств образуют разные топологические пространства.
Вопросы и ответы
В: Что такое топологическое пространство?
О: Топологическое пространство - это набор точек, а также способ узнать, какие вещи находятся рядом друг с другом. Оно изучается в математике структуры фигур.
В: Что такое открытые множества?
О: Открытые множества важны, поскольку они позволяют говорить о точках, расположенных рядом с другой точкой, называемых окрестностями точки. Они определяются как определенные виды множеств, которые могут быть использованы для хорошего определения окрестностей.
В: Чему должны следовать открытые множества?
О: Открытые множества должны следовать определенным правилам, чтобы они соответствовали нашим представлениям о близости. Объединение любого количества открытых множеств должно быть открытым, а объединение конечного количества закрытых множеств должно быть закрытым.
В: Что является особым случаем для открытых и закрытых множеств?
О: Особый случай для открытых и замкнутых множеств состоит в том, что множество, содержащее каждую точку, является одновременно открытым и замкнутым, также как и множество, не содержащее точек, является одновременно открытым и замкнутым.
В: Как различные определения влияют на топологические пространства?
О: Различные определения того, что такое открытое множество, могут влиять на топологические пространства, считая открытыми только определенные множества или больше обычного, или даже считая каждое множество открытым.
В: Может ли бесконечное число замкнутых множеств образовать любое множество?
О: Нет, если бы было разрешено бесконечное число замкнутых множеств, то каждое множество считалось бы замкнутым, поскольку любое множество состоит только из точек.
