Упругое столкновение

Одномерный ньютоновский

Рассмотрим две частицы, обозначенные субскриптами 1 и 2. Пусть m₁ и m₂ - массы, u₁ и u₂ - скорости до столкновения, а v₁ и v₂ - скорости после столкновения.

Использование сохранения импульса для записи одной формулы

Поскольку это упругое столкновение, полный импульс до столкновения равен полному импульсу после столкновения. Учитывая, что импульс (p) рассчитывается как

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv}

Мы можем вычислить импульс до столкновения как:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}}

и импульс после столкновения:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Подставив два равных значения, мы получим первое уравнение:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}

Использование сохранения энергии для записи второй формулы

Второе правило, которое мы используем, заключается в том, что полная кинетическая энергия остается неизменной, то есть начальная кинетическая энергия равна конечной кинетической энергии.

Формула для кинетической энергии такова:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}}}}

Итак, используя те же переменные, что и раньше: Начальная кинетическая энергия составляет:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}}}

Конечная кинетическая энергия составляет:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Установим, что они равны (поскольку полная кинетическая энергия остается неизменной):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Сложив эти два уравнения вместе

Эти уравнения можно решить напрямую, чтобы найти v_i , если известно u_i , или наоборот. Вот пример задачи, которую можно решить, используя либо сохранение импульса, либо сохранение энергии:

Например:

Шар 1: масса = 3 кг, v = 4 м/с

Шар 2: масса = 5 кг, v = -6 м/с

После столкновения:

Шар 1: v = -8,5 м/с

Шар 2: v = неизвестно ( Мы будем изображать его через v )

Использование сохранения момента импульса:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v}

Выполнив умножение, а затем вычтя 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} из обеих сторон, мы получим:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v}

Суммирование левой части, затем деление на 5 {\displaystyle 5} дает нам:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {7,5}{5}}}=v} , а окончательное деление дает нам:   1.5 = v {\displaystyle \ 1.5=v}

Мы также могли бы решить эту задачу, используя принцип сохранения энергии:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}.

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}}}}

Умножив обе стороны на 2 {\displaystyle 2} , а затем выполнив все необходимые умножения, мы получим:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}}

Сложив числа слева, вычтя 216,75 {\displaystyle 216,75} с обеих сторон и разделив на 5 {\displaystyle 5} мы получим:

  2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}}

Взяв квадратный корень из обеих сторон, мы получим ответ v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5}. .

К сожалению, нам все равно придется использовать сохранение импульса, чтобы выяснить, является ли v {\displaystyle v} положительным или отрицательным.