Математическая индукция

Математическая индукция - это особый способ доказать математическую истину. С ее помощью можно доказать, что что-то истинно для всех натуральных чисел (все положительные целые числа). Идея заключается в том, что

  • Кое-что верно для первого случая
  • То же самое всегда верно и для следующего дела.

затем

  • То же самое верно для каждого дела

На осторожном языке математики:

  • Укажите, что доказательством будет индукция по n {\displaystyle n}n . ( n {\displaystyle n}n является переменной индукции).
  • Показать, что утверждение истинно, когда n {\displaystyle n}n равно 1.
  • Предположим, что утверждение истинно для любого натурального числа n {\displaystyle n}n . (Это называется шагом индукции.)
    • Показать, что утверждение истинно для следующего числа, n + 1 {\displaystyle n+1}{\displaystyle n+1} .

Потому что это верно для 1, тогда это верно для 1+1 (=2, по шагу индукции), тогда это верно для 2+1 (=3), тогда это верно для 3+1 (=4), и так далее.

Пример доказательства посредством индукции:

Докажите, что для всех натуральных чисел n:

1 + 2 + 3 + . . . . + ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle 1+2+3+....{\displaystyle 1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}

Доказательство:

Во-первых, утверждение может быть написано: для всех натуральных чисел n

2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)} {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)}

Индукцией по n,

Во-первых, для n=1:

2 ∑ k = 1 1 k = 2 ( 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)} {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)},

так что это правда.

Далее, предположим, что для некоторых n=n0 утверждение верно. То есть..:

2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)} {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)}

Тогда для n=n0+1:

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k} {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k}

можно переписать

2 ( ∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)} {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)}

С 2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),} {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),}

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+1)(n_{0}+2)} {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)}

Следовательно, доказательство верно.

Похожие доказательства

Математическая индукция часто указывается со стартовым значением 0 (а не 1). Фактически, она будет работать также и с различными начальными значениями. Приведем пример, когда начальное значение равно 3. Сумма внутренних углов n {\displaystyle n}n -стороннего многоугольника равна ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} {\displaystyle (n-2)180}градусов.

Начальное начальное значение равно 3, а внутренние углы треугольника - ( 3 - 2 ) 180 {\displaystyle (3-2)180}{\displaystyle (3-2)180} градусов. Предположим, что внутренние углы n {\displaystyle n}n -градусного многоугольника составляет ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180}{\displaystyle (n-2)180} градусов. Добавьте к этому треугольник, который делает фигуру n + 1 {\displaystyle n+1}. {\displaystyle n+1}-сторонний многоугольник, что увеличивает счет углов на 180 градусов ( n - 2 ) 180 + 180 = ( n + 1 - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180}{\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180} градусов. Доказано.

Существует множество математических объектов, для которых проводятся работы по доказательству с помощью математической индукции. Технический термин - хорошо упорядоченный набор.

индуктивное определение

Эта же идея может сработать и для определения, и для доказательства.

Определите n {\displaystyle n}n двоюродный брат:

  • Двоюродный брат 1 {\displaystyle 1}{\displaystyle 1} st degree - ребенок родительского брата.
  • A n + 1 {\displaystyle n +1}{\displaystyle n+1} двоюродный брат st степени - ребенок родителя n {\displaystyle n}n двоюродного брата st степени.

Существует набор аксиом для арифметики натуральных чисел, основанный на математической индукции. Это называется "Аксиомы Пино". Неопределённые символы - | и =. Аксиомы - это

  • | - натуральный номер
  • Если n {\displaystyle n}n - натуральное число, то n | {\displaystyle n|}{\displaystyle n|} - натуральное число.
  • Если n | = m | {\displaystyle n|=m|}{\displaystyle n|=m|} то n = m {\displaystyle n=m} {\displaystyle n=m}

Затем можно определить операции сложения, умножения и т.д. с помощью математической индукции. Например:

  • m + | = m | {\displaystyle m+|=m|} {\displaystyle m+|=m|}
  • m + n | = ( m + n ) | {\displaystyle m+n|=(m+n)|} {\displaystyle m+n|=(m+n)|}

Вопросы и ответы

В: Что такое математическая индукция?


О: Математическая индукция - это особый способ доказательства математической истины, который может быть использован для доказательства того, что нечто истинно для всех натуральных или положительных чисел, начиная с определенного момента.

В: Как происходит доказательство по индукции?


О: Доказательство по индукции обычно проводится следующим образом: указывается, что доказательство будет проводиться для n, показывается, что утверждение истинно, когда n равно 1, предполагается, что утверждение истинно для любого натурального числа n, а затем доказывается, что оно истинно для следующего числа (n+1).

В: Что значит предположить что-то в индуктивном шаге?


О: Предположить что-то на индуктивном этапе означает принять это как истину без предоставления доказательств или подтверждения. Это служит отправной точкой для дальнейшего исследования.

В: Какие числа используются в математической индукции?


О: В математической индукции обычно используются натуральные или положительные числа, начиная с определенного момента.

В: Как показать, что нечто истинно для следующего числа (n+1)?


О: Чтобы показать, что что-то истинно для следующего числа (n+1), Вы должны сначала доказать, что это истинно, когда n=1, а затем использовать Ваше предположение из индуктивного шага, чтобы показать, что это также истинно для n+1.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3