Математическая индукция - это особый способ доказать математическую истину. С ее помощью можно доказать, что что-то истинно для всех натуральных чисел (все положительные целые числа). Идея заключается в том, что
- Кое-что верно для первого случая
- То же самое всегда верно и для следующего дела.
затем
- То же самое верно для каждого дела
На осторожном языке математики:
- Укажите, что доказательством будет индукция по n {\displaystyle n}
. ( n {\displaystyle n} является переменной индукции). - Показать, что утверждение истинно, когда n {\displaystyle n} равно 1.
- Предположим, что утверждение истинно для любого натурального числа n {\displaystyle n} . (Это называется шагом индукции.)
- Показать, что утверждение истинно для следующего числа, n + 1 {\displaystyle n+1}
.
Потому что это верно для 1, тогда это верно для 1+1 (=2, по шагу индукции), тогда это верно для 2+1 (=3), тогда это верно для 3+1 (=4), и так далее.
Пример доказательства посредством индукции:
Докажите, что для всех натуральных чисел n:
1 + 2 + 3 + . . . . + ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle 1+2+3+....
Доказательство:
Во-первых, утверждение может быть написано: для всех натуральных чисел n
2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)} 
Индукцией по n,
Во-первых, для n=1:
2 ∑ k = 1 1 k = 2 ( 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)} 
,
так что это правда.
Далее, предположим, что для некоторых n=n0 утверждение верно. То есть..:
2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)} 
Тогда для n=n0+1:
2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k} 
можно переписать
2 ( ∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)} 
С 2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),} 
2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+1)(n_{0}+2)} 
Следовательно, доказательство верно.
