Парадоксы Зенона

Ахиллес и черепаха

В парадоксе "Ахилл и черепаха" Ахилл соревнуется с черепахой в беге. Ахиллес дает черепахе фору, например, в 100 метров. Предположим, что каждый участник начинает бежать с постоянной скоростью, один очень быстро, а другой очень медленно. Через некоторое конечное время Ахиллес пробежит 100 метров, что приведет его к точке старта черепахи. За это время более медленная черепаха пробежит гораздо меньшее расстояние. Затем Ахиллесу потребуется еще некоторое время, чтобы пробежать это расстояние, и к этому времени черепаха продвинется еще дальше. Затем Ахиллесу потребуется еще больше времени, чтобы достичь третьей точки, в то время как черепаха снова уйдет вперед. Таким образом, всякий раз, когда Ахиллес достигает того места, где была черепаха, ему предстоит пройти еще большее расстояние. Поэтому, поскольку существует бесконечное число точек, до которых Ахилл должен дойти, где уже побывала черепаха, он никогда не сможет обогнать черепаху.

Парадокс дихотомии

Предположим, кто-то хочет попасть из пункта А в пункт Б. Сначала он должен пройти половину пути. Затем нужно пройти половину оставшегося пути. Если продолжать в том же духе, всегда будет оставаться какое-то небольшое расстояние, и цель никогда не будет достигнута. Всегда будет еще одно число, которое нужно добавить в ряд, например, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..... Таким образом, движение из любой точки A в любую другую точку B представляется невозможным.

Комментарий

Отсюда вытекает парадокс Зенона: обе картины реальности не могут быть истинными в одно и то же время. Следовательно, либо: 1. Что-то не так с тем, как мы воспринимаем непрерывную природу времени, 2. В реальности не существует такой вещи, как дискретные, или инкрементные, количества времени, расстояния, или, возможно, чего-то еще, или 3. Существует третья картина реальности, объединяющая две картины - математическую и здравого смысла или философскую, - но у нас еще нет инструментов для ее полного понимания.

Предлагаемые решения

Мало кто поспорит, что черепаха выиграет забег у атлета. Но что не так с этим аргументом?

Начиная складывать члены ряда 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., можно заметить, что сумма становится все ближе и ближе к 1 и никогда не превысит 1. Аристотель (который является источником многого из того, что мы знаем о Зеноне) заметил, что по мере уменьшения расстояния (в парадоксе дихотомии) время прохождения каждого расстояния становится все меньше и меньше. Еще до 212 года до н.э. Архимед разработал метод получения конечного ответа для суммы бесконечно многих членов, которые постепенно уменьшаются (например, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Современное исчисление достигает того же результата, используя более строгие методы.

Некоторые математики, например, w:Carl Boyer, считают, что парадоксы Зено - это просто математические задачи, для которых современное исчисление дает математическое решение. Однако вопросы Зенона остаются проблематичными, если подходить к бесконечной серии шагов по одному шагу за раз. Это известно как сверхзадача. На самом деле исчисление не предполагает сложение чисел по одному. Вместо этого определяется значение (называемое пределом), к которому приближается сложение.

См. статьи английской Википедии

• Парадоксы Зенона
• Квадратура параболы
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
• Лампа Томпсона