Математический анализ

История

В 1670-х и 1680-х годах сэр Исаак Ньютон в Англии и Готфрид Лейбниц в Германии одновременно занимались вычислениями, работая отдельно друг от друга. Ньютон хотел получить новый способ предсказывать, где можно увидеть планеты на небе, потому что астрономия всегда была популярной и полезной формой науки, а знание о движении объектов в ночном небе было важно для навигации кораблей. Лейбниц хотел измерить пространство (площадь) под кривой (линия, которая не является прямой). Много лет спустя эти два человека спорили о том, кто из них первым это открыл. Ученые из Англии поддержали Ньютона, а ученые из остальной Европы - Лейбница. Большинство математиков сегодня согласны с тем, что заслуга обоих мужчин равна. Некоторые части современного исчисления принадлежат Ньютону, например, его применение в физике. Другие - Лейбницу, например, символы, используемые для его записи.

Они не были первыми людьми, использовавшими математику для описания физического мира - Аристотель и Пифагор появились раньше, как и Галилео Галилей, который говорил, что математика - это язык науки. Но и Ньютон, и Лейбниц были первыми, кто разработал систему, которая описывает, как вещи меняются со временем, и может предсказать, как они будут меняться в будущем.

Название "calculus" произошло от латинского слова, обозначавшего небольшой камень, который древние римляне использовали для счета и азартных игр. Английское слово "calculate" происходит от того же латинского слова.

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление используется для нахождения скорости изменения переменной по сравнению с другой переменной.

В реальном мире его можно использовать для определения скорости движущегося объекта или для понимания того, как работают электричество и магнетизм. Это очень важно для понимания физики и многих других областей науки.

Дифференциальное исчисление также полезно для построения графиков. С его помощью можно найти наклон кривой, а также высшую и низшую точки (они называются максимумом и минимумом) кривой.

Переменные могут менять свое значение. Это отличается от чисел, потому что числа всегда одинаковы. Например, число 1 всегда равно 1, а число 200 всегда равно 200. Переменные часто записывают в виде букв, например, буквы x. "X" может быть равен 1 в одной точке и 200 в другой.

Примерами переменных являются расстояние и время, поскольку они могут меняться. Скорость объекта - это расстояние, которое он проходит за определенное время. Так, если город находится на расстоянии 80 километров (50 миль), и человек на машине добирается туда за один час, он проехал со средней скоростью 80 километров (50 миль) в час. Но это только среднее значение - возможно, в некоторые моменты (на шоссе) они ехали быстрее, а в другие - медленнее (на светофоре или на маленькой улице, где живут люди). Представьте себе водителя, который пытается определить скорость автомобиля, используя только его одометр (измеритель расстояния) и часы, без спидометра!

Пока не было изобретено исчисление, единственным способом решить эту задачу было разрезать время на все более мелкие части, чтобы средняя скорость за меньшее время становилась все ближе и ближе к фактической скорости в определенный момент времени. Это был очень долгий и трудный процесс, который приходилось проделывать каждый раз, когда люди хотели что-то вычислить.

Очень похожая задача - найти наклон (крутизну) в любой точке кривой. Наклон прямой линии легко определить - это просто то, сколько она идет вверх (y или вертикаль), деленное на то, сколько она идет поперек (x или горизонталь). На кривой же наклон является переменной величиной (имеет разные значения в разных точках), поскольку линия изгибается. Но если кривую разрезать на очень-очень маленькие кусочки, то кривая в точке будет выглядеть почти как очень короткая прямая линия. Чтобы определить ее наклон, через точку можно провести прямую линию с тем же наклоном, что и кривая в этой точке. Если все сделано правильно, прямая будет иметь тот же наклон, что и кривая, и называется касательной. Но нет способа узнать (без очень сложной математики), точно ли проведена касательная, а наши глаза недостаточно точны, чтобы определить, точно ли она проведена или просто очень близко.

Ньютон и Лейбниц нашли способ точно определить наклон (или скорость в примере с расстоянием), используя простые и логичные правила. Они разделили кривую на бесконечное число очень маленьких частей. Затем они выбрали точки по обе стороны от интересующего их диапазона и провели касательные к каждой из них. По мере приближения точек к интересующей их точке, наклон приближался к определенному значению, так как касательные приближались к реальному наклону кривой. Особое значение, к которому он приближался, и было реальным наклоном.

Допустим, у нас есть функция y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}. f - это сокращение от function, поэтому это уравнение означает "y - функция от x". Это означает, что высота y на вертикальной оси зависит от того, каково значение x (горизонтальная ось) в данный момент. Например, из уравнения y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} , мы знаем, что если x {\displaystyle x} равно 1, то y {\displaystyle y} будет 1; если x {\displaystyle x} равно 3, то y {\displaystyle y} будет 9; если x {\displaystyle x} равно 20, то y {\displaystyle y} будет 400. Производная, полученная этим методом, равна x2 {\displaystyle 2x} , или 2 умноженное на x {\displaystyle x} . Таким образом, мы знаем, не проводя никаких касательных линий, что в любой точке кривой f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}} , производная, f′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (отмеченная символом простоты), будет равна x2 {\displaystyle 2x} в любой точке. Этот процесс определения наклона с помощью пределов называется дифференцированием, или нахождением производной.

В математике производная записывается так: f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. }

Лейбниц пришел к тому же результату, но назвал h " d x {\displaystyle dx} ", что означает "относительно x". Он назвал полученное изменение в f ( x ) {\displaystyle f(x)} " d y {\displaystyle dy} ", что означает "ничтожное количество y". Нотация Лейбница используется в большем количестве книг, потому что ее легко понять, когда уравнения становятся более сложными. В нотации Лейбница: d y d x = f′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Математики развили эту базовую теорию до простых правил алгебры, которые можно использовать для нахождения производной практически любой функции.

На кривой две разные точки имеют разные наклоны. Красная и синяя линии - это касательные к кривой.


Рисунок, показывающий, что означают x и x + h на кривой.

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление - это процесс вычисления площади под графиком функции. Примером может служить вычисление расстояния, пройденного автомобилем: если вы знаете скорость автомобиля в разные моменты времени и построите график этой скорости, то расстояние, пройденное автомобилем, будет площадью под графиком.

Для этого нужно разделить график на множество очень маленьких частей, а затем под каждой частью нарисовать очень тонкие прямоугольники. По мере того как прямоугольники становятся все тоньше и тоньше, они все лучше и лучше покрывают область под графиком. Площадь прямоугольника легко вычислить, поэтому мы можем вычислить общую площадь всех прямоугольников. Для более тонких прямоугольников значение общей площади приближается к площади под графиком. Окончательное значение площади называется интегралом функции.

В математике интеграл функции f(x) от a до b записывается как ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

Мы можем приблизительно определить площадь под кривой, сложив площади многих прямоугольников под кривой. Чем больше прямоугольников мы используем, тем лучше наша аппроксимация.


Интегрирование - это нахождение площадей, заданных a, b и y = f(x).

Основная идея исчисления

Основная идея в исчислении называется фундаментальной теоремой исчисления. Эта основная идея гласит, что два процесса исчисления, дифференциальное и интегральное исчисление, являются противоположными. То есть человек может использовать дифференциальное исчисление, чтобы отменить процесс интегрального исчисления. Также человек может использовать интегральное исчисление, чтобы отменить метод дифференциального исчисления. Это подобно тому, как при помощи деления можно отменить умножение, а при помощи сложения - вычитание.

В одном предложении фундаментальная теорема звучит следующим образом: "Производная интеграла от функции f есть сама функция".

Другие применения калькуляции

Калькуляция используется для описания вещей, которые изменяются, например, вещей в природе. Его можно использовать для демонстрации и изучения всего этого:

• Как движутся волны. Волны очень важны в мире природы. Например, звук и свет можно рассматривать как волны.
• Где движется тепло, например, в доме. Это полезно для архитектуры (строительство домов), чтобы дом можно было обогреть как можно дешевле.
• Как действуют очень маленькие вещи, такие как атомы.
• Скорость падения чего-либо, также известная как сила тяжести.
• Как работают машины, также известная как механика.
• Путь Луны при ее движении вокруг Земли. Также путь Земли, когда она движется вокруг Солнца, и любой планеты или луны, движущейся вокруг чего-либо в космосе.