Дифференциальное исчисление используется для нахождения скорости изменения переменной по сравнению с другой переменной.
В реальном мире его можно использовать для определения скорости движущегося объекта или для понимания того, как работают электричество и магнетизм. Это очень важно для понимания физики и многих других областей науки.
Дифференциальное исчисление также полезно для построения графиков. С его помощью можно найти наклон кривой, а также высшую и низшую точки (они называются максимумом и минимумом) кривой.
Переменные могут менять свое значение. Это отличается от чисел, потому что числа всегда одинаковы. Например, число 1 всегда равно 1, а число 200 всегда равно 200. Переменные часто записывают в виде букв, например, буквы x. "X" может быть равен 1 в одной точке и 200 в другой.
Примерами переменных являются расстояние и время, поскольку они могут меняться. Скорость объекта - это расстояние, которое он проходит за определенное время. Так, если город находится на расстоянии 80 километров (50 миль), и человек на машине добирается туда за один час, он проехал со средней скоростью 80 километров (50 миль) в час. Но это только среднее значение - возможно, в некоторые моменты (на шоссе) они ехали быстрее, а в другие - медленнее (на светофоре или на маленькой улице, где живут люди). Представьте себе водителя, который пытается определить скорость автомобиля, используя только его одометр (измеритель расстояния) и часы, без спидометра!
Пока не было изобретено исчисление, единственным способом решить эту задачу было разрезать время на все более мелкие части, чтобы средняя скорость за меньшее время становилась все ближе и ближе к фактической скорости в определенный момент времени. Это был очень долгий и трудный процесс, который приходилось проделывать каждый раз, когда люди хотели что-то вычислить.
Очень похожая задача - найти наклон (крутизну) в любой точке кривой. Наклон прямой линии легко определить - это просто то, сколько она идет вверх (y или вертикаль), деленное на то, сколько она идет поперек (x или горизонталь). На кривой же наклон является переменной величиной (имеет разные значения в разных точках), поскольку линия изгибается. Но если кривую разрезать на очень-очень маленькие кусочки, то кривая в точке будет выглядеть почти как очень короткая прямая линия. Чтобы определить ее наклон, через точку можно провести прямую линию с тем же наклоном, что и кривая в этой точке. Если все сделано правильно, прямая будет иметь тот же наклон, что и кривая, и называется касательной. Но нет способа узнать (без очень сложной математики), точно ли проведена касательная, а наши глаза недостаточно точны, чтобы определить, точно ли она проведена или просто очень близко.
Ньютон и Лейбниц нашли способ точно определить наклон (или скорость в примере с расстоянием), используя простые и логичные правила. Они разделили кривую на бесконечное число очень маленьких частей. Затем они выбрали точки по обе стороны от интересующего их диапазона и провели касательные к каждой из них. По мере приближения точек к интересующей их точке, наклон приближался к определенному значению, так как касательные приближались к реальному наклону кривой. Особое значение, к которому он приближался, и было реальным наклоном.
Допустим, у нас есть функция y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}
. f - это сокращение от function, поэтому это уравнение означает "y - функция от x". Это означает, что высота y на вертикальной оси зависит от того, каково значение x (горизонтальная ось) в данный момент. Например, из уравнения y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} 
, мы знаем, что если x {\displaystyle x}
равно 1, то y {\displaystyle y}
будет 1; если x {\displaystyle x} равно 3, то y {\displaystyle y} будет 9; если x {\displaystyle x} равно 20, то y {\displaystyle y} будет 400. Производная, полученная этим методом, равна x2 {\displaystyle 2x} 
, или 2 умноженное на x {\displaystyle x} . Таким образом, мы знаем, не проводя никаких касательных линий, что в любой точке кривой f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}} 
, производная, f′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 
(отмеченная символом простоты), будет равна x2 {\displaystyle 2x} в любой точке. Этот процесс определения наклона с помощью пределов называется дифференцированием, или нахождением производной.
В математике производная записывается так: f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. } 
Лейбниц пришел к тому же результату, но назвал h " d x {\displaystyle dx} 
", что означает "относительно x". Он назвал полученное изменение в f ( x ) {\displaystyle f(x)} 
" d y {\displaystyle dy} 
", что означает "ничтожное количество y". Нотация Лейбница используется в большем количестве книг, потому что ее легко понять, когда уравнения становятся более сложными. В нотации Лейбница: d y d x = f′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)} 
Математики развили эту базовую теорию до простых правил алгебры, которые можно использовать для нахождения производной практически любой функции.
