В алгебре есть несколько правил, которые могут быть использованы для дальнейшего понимания уравнений. Они называются правилами алгебры. Хотя эти правила могут показаться бессмысленными или очевидными, разумно понимать, что эти свойства присущи не всем ветвям математики. Поэтому будет полезно узнать, как декларируются эти аксиоматические правила, прежде чем принимать их как должное. Прежде чем перейти к правилам, поразмышляйте над двумя определениями, которые будут даны.
- Напротив - противоположность {\displaystyle -a}
является - a {\displaystyle -a}
. - Взаимодействие - ответная величина {\displaystyle a} равна 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}}
.
Правила
Коммутативное свойство дополнения
Комментарий" означает, что функция имеет тот же результат, если происходит замена чисел. Другими словами, порядок слагаемых в уравнении не имеет значения. Когда оператором двух членов является сложение, применяется "коммутативное свойство сложения". В алгебраических терминах это дает a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a}
.
Обратите внимание, что это не относится к вычитанию! (т.е. a - b ≠ b - a {\displaystyle a-b\neq b-a}
)
Коммутативное свойство умножения
Когда оператором двух членов является умножение, применяется "коммутативное свойство умножения". В алгебраических терминах это дает ⋅ b = b ⋅ a {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}
.
Обратите внимание, что это не относится к делению! (т.е. a b ≠ b a {\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}} 
когда ≠ b {\displaystyle a\neq b}
)
Добавочное имущество
Под "ассоциативным" понимается группировка чисел. Ассоциативное свойство сложения подразумевает, что при сложении трех и более терминов не имеет значения, как эти термины сгруппированы. Алгебраически это дает a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}
. Обратите внимание, что это не означает вычитания, например, 1 = 0 - ( 0 - 1 ) ≠ ( 0 - 0 ) - 1 = - 1 {\displaystyle 1=0-(0-1)\neq (0-0)-1=-1}
(см. свойство дистрибутива).
Ассоциированное свойство умножения
Ассоциативное свойство умножения подразумевает, что при умножении трех и более терминов не имеет значения, как эти термины сгруппированы. Алгебраически это дает ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c {\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}
. Обратите внимание, что это не означает деления, например, 2 = 1 / ( 1 / 2 ) ≠ ( 1 / 1 ) / 2 = 1 / 2 {\displaystyle 2=1/(1/2)\neq (1/1)/2=1/2}
.
Дистрибьюторская собственность
Распределительное свойство гласит, что можно распределить умножение числа на другой член. Например: a ⋅ ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a\cdot (b+c)=ab+ac}
. (Не путайте это с ассоциативными свойствами! Например: a ⋅ ( b + c ) ≠ ( a ⋅ b ) + c {\displaystyle a\cdot (b+c)\neq (a\cdot b)+c}
.) .) .
Добавочное свойство личности
Под "Идентификацией" понимается свойство числа, равное самому себе. Другими словами, существует операция, состоящая из двух чисел, так что она равна переменной суммы. Аддитивное свойство "Идентичность" указывает, что сумма любого числа и 0 является этим числом: a + 0 = a {\displaystyle 
a + 0=a} . Это также означает вычитание: a - 0 = a {\displaystyle a-0=a}
.
Мультипликативная идентификация собственности
В свойстве мультипликативной идентификации указано, что произведение любого числа и 1 является этим числом: a ⋅ 1 = a {\displaystyle a\cdot 1=a}
. Это также означает деление: a 1 = a {\displaystyle {\frac {a}{1}}=a}
.
Обратное свойство добавки
Обратное свойство добавки несколько противоположно свойству идентификации добавки. Когда операция является суммой числа и его противоположностью, и она равна 0, то эта операция является действительной алгебраической операцией. Алгебраически она гласит: a - a = 0 {\displaystyle a-a=0}
. Добавочный инверс 1 равен (-1).
Мультипликативная обратная собственность
Мультипликативное обратное свойство подразумевает, что когда операция является произведением числа и его обратной величины, а она равна 1, то эта операция является действительной алгебраической операцией. Алгебраически оно гласит: a = 1 {\displaystyle {\frac {a}{a}}=1}
. Мультипликативный инверс 2 равен 1/2.
