Число

Цифры для людей

Существуют различные способы присвоения символов цифрам. Эти методы называются системами чисел. Наиболее распространенная система счисления, используемая людьми, - это базовая десятичная система счисления. Базовая десятичная система счисления также называется десятичной системой счисления. Базовая десятизначная система счисления является общепринятой, потому что у людей есть десять пальцев на ногах и десять пальцев на ногах. В базовой десятичной системе счисления используется 10 различных символов {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9}. Эти десять символов называются цифрами.

Символ числа состоит из этих десяти цифр. Положение цифр показывает, насколько большое число. Например, число 23 в десятичной системе счисления действительно означает (2 умножить на 10) плюс 3, а 101 означает 1 умножить на 100 (= 100) плюс 0 умножить на 10 (= 0) плюс 1 умножить на 1 (= 1).

Цифры для машин

Другая система счисления более распространена для машин. Система счисления машин называется двоичной системой счисления. Двоичную систему счисления также называют базовой двухномерной системой счисления. В базовой двухномерационной системе счисления используются два различных символа (0 и 1). Эти два символа называются битами.

Символ для двоичного числа состоит из этих двух битовых символов. Положение битовых символов показывает, насколько большое число. Например, число 10 в двоичной системе счисления действительно означает 1 умножить на 2 плюс 0, а 101 означает 1 умножить на 4 (= 4) плюс 0 умножить на 2 (= 0) плюс 1 умножить на 1 (= 1). Двоичное число 10 равно десятичному числу 2. Двоичное число 101 равно десятичному числу 5.

В английской десятичной системе счисления для некоторых чисел есть специальные имена, которые являются "полномочиями десяти". Все эти силы десяти чисел в десятичной системе счисления используют только символ "1" и символ "0". Например, десять десятков это то же самое, что десять умножить на десять или сто. В символах это "10 × 10 = 100". Также десять сотен - это то же самое, что десять раз по сто или одна тысяча. В символах это "10 × 100 = 10 × 10 × 10 × 10 = 1000". Некоторые другие силы десяти чисел также имеют специальные имена:

• 1 - один
• 10 - десять
• 100 - сто
• 1000 - одна тысяча
• 1 000 000 - один миллион

При работе с большими числами, чем это, существует два различных способа наименования чисел на английском языке. Под "длинной шкалой" новое имя дается каждый раз, когда число в миллион раз больше последнего названного числа. Его также называют "Британским стандартом". Раньше эта шкала была распространена в Британии, но сегодня в англоязычных странах используется редко. Она до сих пор используется в некоторых других европейских странах. Другая шкала - "короткая шкала", при которой новое имя дается каждый раз, когда число в тысячу раз больше последнего названного числа. Эта шкала гораздо чаще используется сегодня в большинстве англоязычных стран.

• 1 000 000 000 - один миллиард (короткий масштаб), один миллиард (длинный масштаб)
• 1 000 000 000 000 - один триллион (короткий масштаб), один миллиард (длинный масштаб)
• 1,000,000,000,000 - один квадриллион (короткий масштаб), один бильярд (длинный масштаб)

натуральные числа

Натуральные числа - это числа, которые мы обычно используем для подсчета, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и др. Некоторые говорят, что 0 тоже является натуральным числом.

Другое название для этих чисел - положительные числа. Иногда эти числа записываются как +1, чтобы показать, что они отличаются от отрицательных чисел. Но не все положительные числа естественны (например, 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}} является положительным, но не естественным).

Если 0 называется натуральным числом, то натуральные числа совпадают с целыми. Если 0 не называется натуральным числом, то натуральные числа те же самые, что и счетные. Таким образом, если не использовать слова "натуральные числа", то будет меньше путаницы в том, включается ли ноль или нет. Но, к сожалению, некоторые говорят, что ноль тоже не целое число, а некоторые говорят, что целые числа могут быть отрицательными. "Положительные целые числа" и "целые числа без отрицательных значений" - это еще один способ включения или исключения нуля, но только в том случае, если люди знают эти слова.

Отрицательные числа

Отрицательные числа - это числа меньше нуля.

Один из способов подумать об отрицательных числах - использовать строку с цифрами. Мы называем одну точку на этой линии нулем. Затем мы пометим (напишем название) каждую позицию на линии на расстояние справа от нулевой точки, например, первая точка - это один сантиметр справа, вторая - это два сантиметра справа.

Теперь подумайте о точке, которая находится в сантиметре слева от нулевой точки. Мы не можем назвать эту точку первой, так как уже есть точка, называемая единицей. Поэтому мы называем эту точку минус 1 (-1) (так как она находится на расстоянии одного сантиметра, но в противоположном направлении).

Ниже приведен рисунок числовой линии.

Все обычные операции математики можно выполнять с отрицательными числами:

Если люди добавляют отрицательное число к другому, то это то же самое, что убрать положительное число с теми же самыми цифрами. Например, 5 + (-3) равно 5 - 3 и равно 2.

Если они забирают отрицательное число у другого, то это то же самое, что и прибавление положительного числа с теми же самыми цифрами. Например, 5 - (-3) равно 5 + 3 и равно 8.

Если они умножают два отрицательных числа вместе, то получают положительное число. Например, -5 умножить на -3 - это 15.

Если они умножают отрицательное число на положительное, или умножают положительное число на отрицательное, то получают отрицательный результат. Например, 5 раз -3 равно -15.

Так как нахождение квадратного корня отрицательного числа невозможно, так как отрицательные времена отрицательного числа могут быть равны отрицательным. Квадратный корень отрицательного числа моделируем как i.

Интеграторы

Целочисленные - это все натуральные числа, все их противоположности и число ноль. Дробные числа и дроби не являются целыми числами.

Рациональные номера

Рациональные числа - это числа, которые могут быть записаны как дроби. Это означает, что они могут быть записаны как a деленные на b, где числа a и b являются целыми числами, а b не равно 0.

Некоторым рациональным числам, таким как 1/10, требуется конечное число цифр после запятой, чтобы записать их в десятичной форме. Число одна десятая записывается в десятичной форме как 0,1. Числа, записанные в десятичной форме, являются рациональными. Некоторым рациональным числам, таким как 1/11, для записи в десятичной форме требуется бесконечное количество цифр после запятой. Существует повторяющийся образец для цифр, следующих за запятой. Первое число одиннадцатое записывается в десятичной форме как 0,0909090909 ... .

Процент можно назвать рациональным числом, потому что такой процент, как 7%, можно записать как дробь 7/100. Его также можно записать в виде десятичной цифры 0,07. Иногда соотношение считается рациональным числом.

Иррациональные номера

Иррациональные числа - это числа, которые не могут быть записаны как дробь, но не имеют воображаемых частей (поясняется далее).

Иррациональные числа часто встречаются в геометрии. Например, если мы имеем квадрат со стороной 1 метра, то расстояние между противоположными углами представляет собой квадратный корень из двух, который равен 1,414213 ... . Это иррациональное число. Математики доказали, что квадратный корень каждого натурального числа является либо целым числом, либо иррациональным числом.

Одно известное иррациональное число - пи. Это окружность (расстояние вокруг) круга, разделенная на его диаметр (расстояние поперек). Это число одинаково для каждой окружности. Число pi равно примерно 3.1415926535 ... .

Иррациональное число не может быть полностью записано в десятичной форме. Оно будет иметь бесконечное число цифр после запятой. В отличие от 0.333333 ... эти цифры не повторялись бы вечно.

Реальные цифры

Реальные номера - это имя для всех наборов номеров, перечисленных выше:

• Рациональные числа, включая целые числа
• Иррациональные числа

Это все числа, которые не включают воображаемые числа.

Воображаемые числа

Воображаемые числа образуются из вещественных чисел, умноженных на число i. Это число является квадратным корнем минус один (-1).

В вещественных числах нет числа, которое при квадрате делает число -1. Поэтому математики придумали число. Они назвали это число i, или воображаемой единицей.

Воображаемые числа работают по тем же правилам, что и настоящие:

• Сумма двух воображаемых чисел обнаруживается путем вытаскивания (факторинга) i. Например, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Разница между двумя воображаемыми числами встречается одинаково. Например, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Умножая два воображаемых числа, помните, что i × i (i2) равно -1. Например, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Воображаемые числа назывались воображаемыми, потому что, когда они впервые были найдены, многие математики не думали, что они существуют. ^[] Человеком, который открыл воображаемые числа, был Джероламо Кардано в 1500-х годах. Первым, кто использовал слова "воображаемое число", был Рене Декарт. Первыми, кто использовал эти числа, были Леонард Эйлер и КарлФридрих Гаусс. Оба жили в 18 веке.

Комплексные номера

Комплексные числа - это числа, которые состоят из двух частей: реальной части и мнимой части. Каждый написанный выше тип числа также является комплексным числом.

Комплексные числа - это более общая форма чисел. Комплексные числа могут быть нарисованы на плоскости чисел. Она состоит из вещественной числовой линии и воображаемой числовой линии.

Вся обычная математика может быть сделана с комплексными числами:

• Чтобы добавить два комплексных числа, добавьте реальную и воображаемую части по отдельности. Например, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Чтобы вычесть одно комплексное число из другого, вычитайте реальную и мнимую части по отдельности. Например, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Умножать два комплексных числа сложно. Легче всего описать в общих терминах, с двумя комплексными числами a + bi и c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i}) )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Например, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Трансцендентные числа

Вещественное или комплексное число называется трансцендентальным, если оно не может быть получено в результате алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Доказать, что определенное число является трансцендентальным, может быть чрезвычайно сложно. Каждое трансцендентальное число также является иррациональным. Первыми, кто увидел, что существовали трансцендентные числа, были Готфрид Вильгельм Лейбниц и Леонхард Эйлер. Первым, кто действительно доказал, что были трансцендентные числа, был Джозеф Лювиль. Он сделал это в 1844 году.

Хорошо известные трансцендентные числа:

• e
• π
• ea для алгебраического ≠ 0
• 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}