Комплексное число

Комплексное число - это число, но оно во многом отличается от обычных чисел. Комплексное число состоит из двух чисел, объединенных вместе. Первая часть является настоящим числом. Вторая часть комплексного числа - это воображаемое число. Важнейшее воображаемое число называется i {\displaystyle i} $i$ , определяемое как число, которое при квадрате будет -1 ("квадрат" означает "умноженное на себя"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1 } $i^{2}=i\times i=-1\$ . Все остальные воображаемые числа i {\displaystyle i} $i$ умножаются на вещественное число так же, как все вещественные числа можно считать 1 умноженным на другое число. Арифметические функции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, могут использоваться с комплексными числами. Они также следуют коммутативным, ассоциативным и распределительным свойствам, как и вещественные числа.

Комплексные числа были обнаружены при попытке решения специальных уравнений, в которых есть экспоненты. Это начало создавать реальные проблемы для математиков. Для сравнения, используя отрицательные числа, можно найти x в уравнении a + x = b {\displaystyle a+x=b} $a+x=b$ для всех реальных значений a и b, но если для x допускаются только положительные числа, то иногда невозможно найти положительное x, как в уравнении $3 + x = 1$ .

С экспоненцией, есть трудности, которые необходимо преодолеть. Нет никакого реального числа, которое давало бы -1, когда оно в квадрате. Другими словами, -1 (или любое другое отрицательное число) не имеет вещественного квадратного корня. Например, нет вещественного числа x {\displaystyle x}, которое решает ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9} $(x+1)^{2}=-9$ . Для решения этой проблемы математики ввели символ i и назвали его воображаемым числом. Это воображаемое число, которое при квадрате даст -1.

Первыми математиками, которые подумали об этом, вероятно, были Джероламо Кардано и Раффаэле Бомбелли. Они жили в 16 веке. Вероятно, это Леонхард Эйлер ввел в обиход писателя i {\displaystyle \mathrm {i}. $\mathrm {i}$ за этот номер.

Все комплексные числа можно писать как + b i {\displaystyle a+bi}. $a+bi$ (или a + b ⋅ i {\displaystyle a +b\cdot i} $a+b\cdot i$ ), где a называется настоящей частью числа, а b - воображаемой частью. Мы пишем ℜ ( z ) {\displaystyle \Re ( z ) } $\Re (z)$ или Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)} $\operatorname {Re} (z)$ для реальной части комплексного числа z {\displaystyle z} $z$ . Итак, если z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , то мы пишем a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} . (z)} $a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)$ . Аналогично, мы пишем ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} $\Im (z)$ или Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} . (z)} $\operatorname {Im} (z)$ для воображаемой части комплексного числа z {\displaystyle z} $z$ ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} $b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)$ для того же $z$ . Каждое вещественное число также является комплексным числом; это комплексное число $z$ с ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0} $\Im (z)=0$ .

Комплексный номер также может быть написан в виде упорядоченной пары, $(a, b)$ . И a, и b - вещественные числа. Любое вещественное число можно просто написать как + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} $a+0\cdot i$ или как пара $(a, 0)$ .

Иногда вместо i {\displaystyle j} $j$ пишется i {\displaystyle i} $i$ . В электротехнике i {\displaystyle i} $i$ означает электрический ток. Написание i {\displaystyle i} $i$ может вызвать много проблем, поскольку некоторые числа в электротехнике являются комплексными.

Набор всех комплексных чисел обычно пишется как C {\displaystyle \mathbb {C}. } $\mathbb {C}$ .

Операции по комплексным номерам

Добавление, вычитание, умножение, деление до тех пор, пока делитель не равен нулю, а экспоненцирование (приведение чисел к экспонентам) возможно с комплексными числами. Некоторые другие вычисления также возможны с комплексными числами.

Правило сложения и вычитания комплексных чисел довольно простое:

Пусть z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} $z=(a+bi),w=(c+di)$ , затем z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} $z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ , и z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} $z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$ .

Умножение немного другое:

z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } $z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

Еще одна примечательная операция для комплексных чисел - спряжение. Комплексным спряжением z ¯ {\displaystyle {\overline {z}} ${\overline {z}}$ к z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ является a - b i {\displaystyle a-bi} $a-bi$ . Это довольно просто, но важно для вычислений, поскольку z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}} $z\times {\overline {z}}$ принадлежит к вещественным числам для всех комплексных z {\displaystyle z} $z$ :

z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2}) +(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}} $z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}$ .

Мы можем использовать это для разделения:

1 z = z ¯ z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } ${\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).$

Другие формы описания комплексных чисел

Комплексные числа могут быть показаны на так называемой комплексной плоскости. Если число z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , то можно перейти к точке на реальной оси и к b на воображаемой оси и нарисовать вектор от ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} $(0,0)$ до ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} $(a,b)$ . Длину этого вектора можно рассчитать, используя теорему Пифагора и угол между положительной вещественной осью и этим вектором, идущим против часовой стрелки. Длина вектора для числа z {\displaystyle z} $z$ называется его модулем (написано | z | {\displaystyle |z|} $|z|$ ), а угол называется его аргументом (arg z {\displaystyle \arg z} $\arg z$ ).

Это приводит к тригонометрической форме описания комплексных чисел: по определениям синуса и косинуса, для всех z {\displaystyle z} $z$ стоит, что

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } $z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).$

Это тесно связано с формулой Де Мойвра.

Существует даже другая форма, называемая экспоненциальной.

Комплексное число может быть визуально показано в виде двух чисел, которые образуют вектор на диаграмме Argand, представляющей комплексную плоскость.

Заключение

С добавлением комплексных чисел к математике каждый многочлен с комплексными коэффициентами имеет корни, которые являются комплексными числами. Успешное добавление комплексных чисел в математику также помогло открыть путь к созданию других видов чисел, которые могли бы решить и помочь объяснить множество различных проблем, например: гиперкомплексные числа, седенионы, гиперреальные числа, сюрреалистические числа и многие другие. См. типы чисел.

Вопросы и ответы

В: Что такое комплексное число?

О: Комплексное число - это число, состоящее из двух частей, первая из которых является действительным числом, а вторая - мнимым.

В: Какое самое важное мнимое число?

О: Самое важное мнимое число называется i, которое определяется как число, которое при возведении в квадрат будет равно -1.

В: Как арифметические функции используются с комплексными числами?

О: Арифметические функции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, могут использоваться с комплексными числами. Они также подчиняются коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным свойствам, как и действительные числа.

В: Каким символом обозначается набор комплексных чисел?

О: Множество комплексных чисел часто представляют с помощью символа C.

В: Почему были открыты комплексные числа?

О: Комплексные числа были открыты при попытке решить специальные уравнения, в которых есть экспоненты, поскольку они представляли реальные проблемы для математиков.

В: Кто ввел запись i для этого типа чисел?

О: Вероятно, именно Леонгард Эйлер ввел запись i для этого типа чисел.

В: Как комплексное число может быть записано в виде упорядоченной пары?

О: Комплексное число можно записать в виде упорядоченной пары (a, b), где a и b - действительные числа.