Комплексное число - это число, но оно во многом отличается от обычных чисел. Комплексное число состоит из двух чисел, объединенных вместе. Первая часть является настоящим числом. Вторая часть комплексного числа - это воображаемое число. Важнейшее воображаемое число называется i {\displaystyle i} 
, определяемое как число, которое при квадрате будет -1 ("квадрат" означает "умноженное на себя"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1 } 
. Все остальные воображаемые числа i {\displaystyle i} умножаются на вещественное число так же, как все вещественные числа можно считать 1 умноженным на другое число. Арифметические функции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, могут использоваться с комплексными числами. Они также следуют коммутативным, ассоциативным и распределительным свойствам, как и вещественные числа.
Комплексные числа были обнаружены при попытке решения специальных уравнений, в которых есть экспоненты. Это начало создавать реальные проблемы для математиков. Для сравнения, используя отрицательные числа, можно найти x в уравнении a + x = b {\displaystyle a+x=b}
для всех реальных значений a и b, но если для x допускаются только положительные числа, то иногда невозможно найти положительное x, как в уравнении 3 + x = 1.
С экспоненцией, есть трудности, которые необходимо преодолеть. Нет никакого реального числа, которое давало бы -1, когда оно в квадрате. Другими словами, -1 (или любое другое отрицательное число) не имеет вещественного квадратного корня. Например, нет вещественного числа x {\displaystyle x}
, которое решает ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. Для решения этой проблемы математики ввели символ i и назвали его воображаемым числом. Это воображаемое число, которое при квадрате даст -1.
Первыми математиками, которые подумали об этом, вероятно, были Джероламо Кардано и Раффаэле Бомбелли. Они жили в 16 веке. Вероятно, это Леонхард Эйлер ввел в обиход писателя i {\displaystyle \mathrm {i}. 
за этот номер.
Все комплексные числа можно писать как + b i {\displaystyle a+bi}. 
(или a + b ⋅ i {\displaystyle a +b\cdot i}
), где a называется настоящей частью числа, а b - воображаемой частью. Мы пишем ℜ ( z ) {\displaystyle \Re ( z ) }
или Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
для реальной части комплексного числа z {\displaystyle z}
. Итак, если z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, то мы пишем a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} . (z)}
. Аналогично, мы пишем ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} 
или Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} . (z)}
для воображаемой части комплексного числа z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} 
для того же z. Каждое вещественное число также является комплексным числом; это комплексное число z с ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Комплексный номер также может быть написан в виде упорядоченной пары, (a, b). И a, и b - вещественные числа. Любое вещественное число можно просто написать как + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}
или как пара (a, 0).
Иногда вместо i {\displaystyle j}
пишется i {\displaystyle i} . В электротехнике i {\displaystyle i} означает электрический ток. Написание i {\displaystyle i} может вызвать много проблем, поскольку некоторые числа в электротехнике являются комплексными.
Набор всех комплексных чисел обычно пишется как C {\displaystyle \mathbb {C}. } 
.
