Воображаемые числа - это числа, которые создаются из объединения вещественного числа с воображаемой единицей, называемой i, где i определено как i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}{\displaystyle i^{2}=-1} . Они определяются отдельно от отрицательных вещественных чисел в том смысле, что они являются не положительным вещественным числом, а квадратным корнем отрицательного вещественного числа. С вещественными числами это невозможно, поскольку не существует вещественного числа, которое умножается само по себе, чтобы получить отрицательное число (например, 3*3 = 9 и -3*-3 = 9).

Один из способов мышления о них заключается в том, чтобы сказать, что воображаемые числа - это отрицательные числа, а отрицательные числа - положительные. Если я говорю "пойти на восток на -1 милю", то это то же самое, как если бы я сказал "пойти на запад на 1 милю". Если я говорю "пойти на восток на 1 милю", то это то же самое, как если бы я сказал "пойти на север на 1 милю". Если я говорю "пойти на восток на -i милю", это означает то же самое, как если бы я сказал "пойти на юг на 1 милю".

Добавить тоже легко. Если я говорю "пойти на восток на 1 + i милю", то это означает то же самое, как если бы я сказал "пойти на восток на 1 милю и на север на 1 милю".

Умножение двух воображаемых чисел во многом похоже на умножение положительного числа на отрицательное. Если я говорю "пойти на восток на 2*-3 мили", то это означает "повернуть все вокруг (так, что теперь вы смотрите на запад) и пойти 2*3 = 6 миль". Воображаемые числа работают одинаково, за исключением того, что вы можете повернуть на часть пути. Если я говорю "повернуть на восток на 2*3i мили", то это означает то же самое, как если бы я сказал "повернуть до тех пор, пока вы не окажетесь лицом к северу, а затем поехать 2*3 = 6 миль".

Вычитание 5 - 9 раньше было невозможно до тех пор, пока не были изобретены отрицательные числа. После них взять квадратный корень отрицательного числа было невозможно до тех пор, пока не были изобретены воображаемые числа. Квадратный корень 9 равен 3, но квадратный корень -9 не равен -3, это потому, что -3 x -3 = +9, а не -9. Долгое время казалось, что на квадратный корень из -9 нет ответа.

Именно поэтому математики придумали воображаемое число i и сказали, что это квадратный корень из -1. Квадратный корень из -1 не является реальным числом, поэтому это определение создает новый тип числа, точно так же, как дроби создают числа типа 2/3, которые не считают числа типа 4 или 10, а отрицательные числа позволяют нам иметь числа меньше 0. Иногда математикам кажется довольно удобным использовать число, которое настолько необычно, но имя воображаемого не должно вас обманывать, потому что i является таким же действительным числом, как 3 или 145,379.

Многие отрасли науки и техники нашли применение этому числу. Иногда инженерам-электрикам необходимо понять, как будет работать электрическая цепь при ее проектировании (инженеры-электрики используют j вместо i, чтобы избежать путаницы с символом тока). Некоторые отрасли физики, такие как квантовая физика и физика высоких энергий, используют число i так же часто, как и любое другое обычное число. Многие уравнения в мире просто не могут быть решены без i.

Воображаемые числа можно смешивать с числами, с которыми мы больше знакомы. Например, реальное число, такое как 2, может быть добавлено к воображаемому числу, такому как 3i, чтобы создать 2+3i. Такие смешанные числа известны как комплексные.