Инъективная функция

Автор: Leandro Alegsa Дата создания: 20 апреля 2022 г.

В математике инъективная функция - это функция f : A → B со следующим свойством. Для каждого элемента b в кодомене B существует максимум один элемент a в домене A такой, что f(a)=b.

Термин инъекция и связанные с ним термины сюръекция и биекция были введены Николаем Бурбаки. В 1930-х годах он и группа других математиков опубликовали серию книг по современной высшей математике.

Инъективную функцию часто называют функцией 1-1. Однако соответствие 1-1 - это биективная функция (одновременно инъективная и сюръективная). Это сбивает с толку, поэтому будьте внимательны.

Основные свойства

Формально:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ является инъективной функцией, если ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\в A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ или аналогично

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ является инъективной функцией, если ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}}} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

Элемент a {\displaystyle a} называется предобразом элемента b {\displaystyle b} $b$ , если f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} $f(a)=b$ . Инъекции имеют один или ни одного предобраза для каждого элемента b в B.

Кардинальность

Кардинальность - это количество элементов в множестве. Кардинальность множества A={X,Y,Z,W} равна 4. Мы пишем #A=4.

Если кардинальность кодомена меньше кардинальности домена, функция не может быть инъекцией. (Например, не существует способа отобразить 6 элементов на 5 элементов без дублирования).

Примеры

Элементарные функции

Пусть f(x):ℝ→ℝ - вещественная функция y=f(x) от вещественного аргумента x. (Это означает, что и вход, и выход - вещественные числа).

Графический смысл: Функция f является инъекцией, если каждая горизонтальная линия пересекает график f не более чем в одной точке.
Алгебраический смысл: Функция f является инъекцией, если f(x_o )=f(x₁ ) означает x_o =x₁ .

Пример: Линейная функция наклонной линии равна 1-1. То есть y=ax+b, где a≠0 - инъекция. (Это также сюръекция и, следовательно, биекция).

Доказательство: Пусть x_o и x₁ - действительные числа. Предположим, что линия отображает эти два значения x на одно и то же значение y. Это означает, что a-x_o +b=a-x₁ +b. Вычтем b из обеих сторон. Получаем a-x_o =a-x₁ . Теперь разделите обе стороны на a (помните a≠0). Получаем x_o =x₁ . Итак, мы доказали формальное определение и функцию y=ax+b, где a≠0 - инъекция.

Пример: Полиномиальная функция третьей степени: f(x)=x³ является инъекцией. Однако полиномиальная функция третьей степени: f(x)=x³ -3x не является инъекцией.

Обсуждение 1: Любая горизонтальная линия пересекает график

f(x)=x³ ровно один раз. (Кроме того, это сюръекция).

Обсуждение 2. Любая горизонтальная линия между y=-2 и y=2 пересекает график в трех точках, поэтому эта функция не является инъекцией. (Однако она является сюръекцией).

Пример: Квадратичная функция f(x) = x² не является инъекцией.

Обсуждение: Любая горизонтальная прямая y=c, где c>0, пересекает график в двух точках. Поэтому эта функция не является инъекцией. (Также она не является сюръекцией).

Примечание: Неинъективную функцию можно превратить в инъективную, исключив часть ее области. Мы называем это ограничением области. Например, ограничьте область f(x)=x² неотрицательными числами (положительными числами и нулем). Определите

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ где f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

Теперь эта функция является инъекцией. (См. также ограничение функции).

Пример: Экспоненциальная функция f(x) = 10^x является инъекцией. (Однако это не сюръекция).

Обсуждение: Любая горизонтальная линия пересекает график не более чем в одной точке. Горизонтальные линии y=c при c>0 пересекают график ровно в одной точке. Горизонтальные прямые y=c при c≤0 не пересекают график ни в одной точке.

Примечание: Тот факт, что экспоненциальная функция инъективна, может быть использован в вычислениях.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Пример: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,\,2=x-3\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x=5} $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Инъекция: ни одна горизонтальная линия не пересекает более одной точки графика

Инъекция. f(x):ℝ→ℝ (и сюръекция)

Не инъекция. f(x):ℝ→ℝ (является сюръекцией).

Не инъекция. f(x):ℝ→ℝ (не сюръекция).

Инъекция. f(x):ℝ→ℝ (не сюръекция)

Инъекция. f(x):(0,+∞)→ℝ (и сюръекция)

Другие примеры

Пример: Логарифмическая функция по основанию 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, определяемая f(x)=log(x) или y=log₁₀ (x), является инъекцией (и сюръекцией). (Это обратная функция 10^x .)

Пример: Функция f:ℕ→ℕ, отображающая каждое натуральное число n в 2n, является инъекцией. Каждое четное число имеет ровно один предобраз. У каждого нечетного числа нет предобраза.

Вопросы и ответы

В: Что такое инъективная функция в математике?

A: Инъективная функция - это функция f: A → B, обладающая тем свойством, что отдельные элементы в области отображаются на отдельные элементы в кодомене.

В: Каково отношение между элементами в домене и кодомене инъективной функции?

A: Для каждого элемента b в кодомене B существует не более одного элемента a в домене A, такого, что f(a)=b.

В: Кто ввел термины инъекция, сюръекция и биекция?

О: Николай Бурбаки и группа других математиков ввели термины инъекция, сюръекция и биекция.

В: Что означает инъективная функция?

О: Инъективная функция означает, что каждый элемент в области A отображается на единственный элемент в кодомене B.

В: Чем инъективная функция отличается от соответствия 1-1?

О: Инъективную функцию часто называют функцией 1-1 (один-к-одному), но она отличается от соответствия 1-1, которое является биективной функцией (одновременно инъективной и сюръективной).

В: Каково свойство инъективной функции?

О: Свойство инъективной функции состоит в том, что отдельные элементы в области отображаются на отдельные элементы в кодомене.

В: Какое значение имеют инъективные функции в математике?

О: Инъективные функции играют важную роль во многих математических областях, включая топологию, анализ и алгебру, благодаря их свойству отображать отдельные элементы в домене на отдельные элементы в кодомене.