Логарифм

История

Впервые логарифмы были применены в Индии во 2 веке до н.э. Первым логарифмами в наше время пользовался немецкий математик Михаэль Штифель (около 1487-1567 гг.). В 1544 г. он записал следующие уравнения: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} и q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}=q^{m-n}}. Это основа для понимания логарифмов. Для Stifel m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} должны были быть целыми числами. Джон Напьер (1550-1617) не хотел этого ограничения, а хотел диапазон для экспонентов.

Согласно Napier, логарифмы выражают соотношения: a {\displaystyle a} имеет то же соотношение, что и b {\displaystyle b} , что и c {\displaystyle c} - d {\displaystyle d}, если разница их логарифмов совпадает. Математически: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . Сначала использовалась базовая e (хотя номер еще не был назван). Генри Бриггс предложил использовать 10 в качестве базы для логарифмов, такие логарифмы очень полезны в астрономии.

Джон Нэпьер работал над логарифмами.

Взаимосвязь с экспоненциальными функциями

Логарифм подсказывает, какой экспонент (или мощность) необходим для получения определенного числа, поэтому логарифмы являются обратным (противоположным) значением экспоненции.

Подобно тому, как экспоненциальная функция имеет три части, логарифм имеет три части. Три части логарифма - это база, аргумент и ответ (также называемый power).

Это экспоненциальная функция:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8 }

В этой функции базой является 2, аргументом - 3, а ответом - 8.

У этой экспоненциальной функции есть обратная, ее логарифм:

журнал 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3 }

В этом логарифме базой является 2, аргументом - 8 и ответом - 3.

Отличие от корней

Добавление имеет одну обратную операцию: вычитание. Также, умножение имеет одну обратную операцию: деление. Поэтому может быть трудно понять, почему экспоненциация на самом деле имеет две обратные операции: Зачем нужен логарифм, если корень уже есть? Это происходит потому, что выражение не является коммутативным.

Следующий пример иллюстрирует это:

• Если у вас x+2=3, то вы можете использовать вычитание, чтобы узнать, что x=3-2. Это то же самое, если у вас 2+x=3: вы также получите x=3-2. Это потому, что x+2 совпадает с 2+x.
• Если у вас есть x - 2=3, то вы можете использовать деление, чтобы выяснить, что x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}} . То же самое, если у вас 2 - x=3: Вы также получаете x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Это потому, что x - 2 это то же самое, что и 2 - x.
• Если у вас x²=3, то вы используете (квадратный) корень, чтобы узнать x: Вы получаете результат x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}} . Однако, если у вас 2x=3, то вы не можете использовать корень, чтобы узнать x. Скорее, вы должны использовать (двоичный) логарифм, чтобы узнать x: Вы получите результат x=log2(3).
  Это потому, что 2x обычно не совпадает с x2 (например, ²⁵⁼³², но 5²=25).

Использует

Логарифмы могут облегчить умножение и деление больших чисел, так как сложение логарифмов равнозначно умножению, а вычитание логарифмов равно делению.

До того, как калькуляторы стали популярными и обычными, люди использовали таблицы логарифмов в книгах для умножения и деления. Та же информация в логарифмической таблице была доступна на слайдовой линейке - инструменте с логарифмами, написанными на ней.

• Логарифмические спирали распространены в природе. Примером может служить раковина наутилуса или расположение семян на подсолнечнике.
• В химии отрицательный логарифм активности ионов гидрония (H3O+, форма H+, принимаемая в воде) является мерой, известной как pH. Активность ионов гидрония в нейтральной воде составляет ^10-7 моль/л при 25 °C, следовательно, рН 7. (Это результат константы равновесия, продукта концентрации ионов гидроксила и гидроксила ионов гидрония в водных растворах 10-14 М2).
• Масштаб Рихтера измеряет интенсивность землетрясений по логарифмической шкале базис 10.
• В астрономии видимая величина измеряет яркость звезд логарифмически, так как глаз также логарифмически реагирует на яркость.
• Музыкальные интервалы измеряются логарифмически как полутоны. Интервал между двумя нотами в полутонах является базовым-21/12 логарифмом частотного соотношения (или эквивалентно 12-кратному базовому-2 логарифму). Дробные полутоны используются для неравных темпераментов. Особенно для измерения отклонений от равноотпущенной шкалы, интервалы также выражаются в центах (сотые доли равноотпущенного полутона). Интервал между двумя нотами в центах является базисным логарифмом отношения частоты-21/1200 (или 1200 раз больше базисного логарифма-2). В MIDI ноты нумеруются по полутоновой шкале (логарифмический абсолютный номинальный шаг со средним значением C на уровне 60). Для микронастройки на другие системы тюнинга логарифмическая шкала определяется совместимым способом заполнения диапазонов между полутонами равноотпущенной шкалы. Эта шкала соответствует номерам нот для целых полутонов. (см. микронастройка в MIDI).

Общие логарифмы

Логариты к базе 10 называются обычными логаритами. Обычно они пишутся без базы. Например:

log ( 100 ) = 2 {\displaystyle \log(100)=2 }

Это значит:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100 }

натуральные логарифмы

Логариты к основанию e называются естественными логаритами. Число e почти 2.71828, а также называется константой Эйлера в честь математика Леонарда Эйлера.

Природные логарифмы могут принимать символы log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x),} или ln( x ) {\displaystyle \ln(x),}.

Некоторые авторы предпочитают использовать натуральные логарифмы в качестве логарифма ( x ) {\displaystyle \log(x)}, но обычно упоминают об этом на предисловиях.

Общие основы логарифмов

база	аббревиатура	Комментарии
2	ld {\displaystyle \operatorname {ld} }	Очень часто встречается в компьютерных науках (бинарные).
e	В {\displaystyle \ln } или просто войти в систему {\displaystyle \log }	Основой этого является эвлерианская константа e. Это наиболее распространенный логарифм, используемый в чистой математике.
10	журнал 10 {\displaystyle \log _{10}} или журнал {\displaystyle \log } (иногда также пишется как lg {\displaystyle \lg } )	Используется в некоторых науках, таких как химия и биология.
любое число, n	log n {\displaystyle \log _{n}}	Это общий способ написания логарифмов.

Свойства логарифмов

Логариты обладают многими свойствами. Например:

Свойства из определения логарифма

Это свойство прямо из определения логарифма:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} Например

журнал 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} и

журнал 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=-1} потому что 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}=2^{-1}} .

Логарифм к основе b числа a тот же, что и логарифм a, разделенный на логарифм b. То есть,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a) ={\frac {\log(a) }{\log(b) }}

Например, пусть a будет 6, а b будет 2. С помощью калькуляторов мы можем показать, что это правда или, по крайней мере, очень близко:

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\approx 2.584962}

2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 {\displaystyle 2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}\approx 2.584970}

Наши результаты имели небольшую ошибку, но это было связано с округлением чисел.

Так как трудно представить себе естественный логарифм, то мы находим, что в терминах базового логарифма - десять:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}}} Где 0.434294 является приближением для логарифма e.

 

Операции в логарифмических аргументах

Логарифмы, которые умножаются внутри своего аргумента, могут быть изменены следующим образом:

log ( a ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Например,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

То же самое работает и с делением, но с вычитанием вместо сложения, так как это обратная операция умножения:

log ( a ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Логарифмические таблицы, правила слайдов и исторические приложения

До электронных компьютеров логарифмы использовались учеными каждый день. Логарифмы помогали ученым и инженерам во многих областях, таких как астрономия.

До компьютеров таблица логарифмов была важным инструментом. В 1617 году Генри Бриггс напечатал первую логарифмическую таблицу. Это было вскоре после основного изобретения Нэпьера. Позже люди делали таблицы с более широким охватом и точностью. В этих таблицах перечислялись значения logb(x) и bx для любого числа x в определенном диапазоне, с определенной точностью, для определенного основания b (обычно b = 10). Например, первая таблица Бриггса содержала общие логарифмы всех целых чисел в диапазоне 1-1000, с точностью до 8 цифр. Поскольку функция f(x) = bx является обратной функцией logb(x), она была названа антилогарифмом. Люди использовали эти таблицы для умножения и деления чисел. Например, пользователь просматривал логарифм в таблице для каждого из двух положительных чисел. Добавление чисел из таблицы дало бы логарифм изделия. Антилогарифмическая особенность таблицы позволит найти изделие по его логарифму.

Для ручных вычислений, требующих точности, выполнение поиска двух логарифмов, вычисление их суммы или разницы, а также поиск антилогарифма намного быстрее, чем выполнение умножения более ранними способами.

Многие таблицы логарифмов дают логарифмы по отдельности, предоставляя характеристику и мантиссу x, то есть целочисленную и дробную части log10(x). Характеристика 10 - х - это один плюс характеристика х, а их знаки одинаковы. Это расширяет область применения логарифмических таблиц: при наличии таблицы, содержащей log10(x) для всех целых чисел x в диапазоне от 1 до 1000, логарифм 3542 аппроксимируется следующим образом

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354.2 ) = 1 + log 10 ( 354.2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\approx 1+\log _{10}(354).,}

Другим важным приложением было слайд-правило - пара логарифмически разделенных шкал, используемых для вычисления, как показано здесь:

Числа обозначаются на скользящих шкалах на расстояниях, пропорциональных разнице их логарифмов. Смещение верхней шкалы соответствующим образом равнозначно механическому добавлению логарифмов. Например, при сложении расстояния от 1 до 2 на нижней шкале до расстояния от 1 до 3 на верхней шкале получается произведение 6, которое считывается в нижней части. Многие инженеры и ученые использовали правила слайдов до 1970-х годов. Ученые могут работать быстрее, используя правило слайда, чем используя таблицу логарифмов.

Ближайшие туманности и звездные скопления (кликабельная карта)


Схематическое изображение слайдовой линейки. Начиная с 2 на нижней шкале, добавьте расстояние до 3 на верхней шкале, чтобы достичь изделия 6. Слайд-правило работает потому, что оно помечено так, что расстояние от 1 до x пропорционально логарифму x.