Логариты обладают многими свойствами. Например:
Свойства из определения логарифма
Это свойство прямо из определения логарифма:
log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} 
Например
журнал 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} 
и
журнал 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=-1} 
потому что 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}=2^{-1}} 
.
Логарифм к основе b числа a тот же, что и логарифм a, разделенный на логарифм b. То есть,
log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a) ={\frac {\log(a) }{\log(b) }} 
Например, пусть a будет 6, а b будет 2. С помощью калькуляторов мы можем показать, что это правда или, по крайней мере, очень близко:
log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}} 
log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\approx 2.584962} 
2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 {\displaystyle 2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}\approx 2.584970} 
Наши результаты имели небольшую ошибку, но это было связано с округлением чисел.
Так как трудно представить себе естественный логарифм, то мы находим, что в терминах базового логарифма - десять:
ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}}} 
Где 0.434294 является приближением для логарифма e.
Операции в логарифмических аргументах
Логарифмы, которые умножаются внутри своего аргумента, могут быть изменены следующим образом:
log ( a ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)} 
Например,
log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3} 
То же самое работает и с делением, но с вычитанием вместо сложения, так как это обратная операция умножения:
log ( a ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)} 
Логарифмические таблицы, правила слайдов и исторические приложения
До электронных компьютеров логарифмы использовались учеными каждый день. Логарифмы помогали ученым и инженерам во многих областях, таких как астрономия.
До компьютеров таблица логарифмов была важным инструментом. В 1617 году Генри Бриггс напечатал первую логарифмическую таблицу. Это было вскоре после основного изобретения Нэпьера. Позже люди делали таблицы с более широким охватом и точностью. В этих таблицах перечислялись значения logb(x) и bx для любого числа x в определенном диапазоне, с определенной точностью, для определенного основания b (обычно b = 10). Например, первая таблица Бриггса содержала общие логарифмы всех целых чисел в диапазоне 1-1000, с точностью до 8 цифр. Поскольку функция f(x) = bx является обратной функцией logb(x), она была названа антилогарифмом. Люди использовали эти таблицы для умножения и деления чисел. Например, пользователь просматривал логарифм в таблице для каждого из двух положительных чисел. Добавление чисел из таблицы дало бы логарифм изделия. Антилогарифмическая особенность таблицы позволит найти изделие по его логарифму.
Для ручных вычислений, требующих точности, выполнение поиска двух логарифмов, вычисление их суммы или разницы, а также поиск антилогарифма намного быстрее, чем выполнение умножения более ранними способами.
Многие таблицы логарифмов дают логарифмы по отдельности, предоставляя характеристику и мантиссу x, то есть целочисленную и дробную части log10(x). Характеристика 10 - х - это один плюс характеристика х, а их знаки одинаковы. Это расширяет область применения логарифмических таблиц: при наличии таблицы, содержащей log10(x) для всех целых чисел x в диапазоне от 1 до 1000, логарифм 3542 аппроксимируется следующим образом
log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354.2 ) = 1 + log 10 ( 354.2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\approx 1+\log _{10}(354).,} 
Другим важным приложением было слайд-правило - пара логарифмически разделенных шкал, используемых для вычисления, как показано здесь:
Числа обозначаются на скользящих шкалах на расстояниях, пропорциональных разнице их логарифмов. Смещение верхней шкалы соответствующим образом равнозначно механическому добавлению логарифмов. Например, при сложении расстояния от 1 до 2 на нижней шкале до расстояния от 1 до 3 на верхней шкале получается произведение 6, которое считывается в нижней части. Многие инженеры и ученые использовали правила слайдов до 1970-х годов. Ученые могут работать быстрее, используя правило слайда, чем используя таблицу логарифмов.
. В этом логарифме базой является 2, аргументом - 8, ответом - 3.
