Скользящая линейка

В самом базовом виде слайд-правило использует две логарифмические шкалы для быстрого умножения и деления чисел. Эти обычные операции могут занимать много времени и допускать ошибки при выполнении на бумаге. Более сложные правила слайдов позволяют выполнять и другие вычисления, такие как квадратные корни, экспоненты, логарифмы и тригонометрические функции.

Математические расчеты производятся путем выравнивания метки на скользящей центральной полосе с меткой на одной из неподвижных полос. После этого можно наблюдать относительное положение других меток. Цифры, выровненные по меткам, дают приблизительное значение изделия, коэффициента или другого вычисленного результата.

Пользователь определяет местоположение десятичной точки в результате, основываясь на ментальной оценке. Научная нотация используется для отслеживания десятичной точки в более формальных вычислениях. Шаги добавления и вычитания в вычислениях обычно выполняются мысленно или на бумаге, а не по слайд-правилу.

Большинство правил слайдов имеют три линейные полосы одинаковой длины. Полосы выровнены параллельно и сцеплены таким образом, что центральная полоса может быть перемещена продольно относительно двух других. Внешние две полосы зафиксированы таким образом, что их относительное положение не меняется.

Некоторые слайдовые правила ("дуплексные" модели) имеют шкалу с обеих сторон правила и скользящей полосы, другие - с одной стороны внешних полос и с обеих сторон скользящей полосы, третьи - только с одной стороны ("симплексные" правила). Скользящий курсор с линией выравнивания по вертикали используется для нахождения соответствующих точек на весах, которые не находятся рядом друг с другом или, в дуплексных моделях, на другой стороне правила. Курсор также может записать промежуточный результат на любом из весов.

Умножение

Логарифм преобразует операции умножения и деления в сложение и вычитание по правилам log ( x y ) = log ( x ) + log ( y ) {\displaystyle \log(xy)=\log(x)+\log(y)} и log ( x / y ) = log ( x ) - log ( y ) {\displaystyle \log(x/y)=\log(x)-\log(y)} . Перемещение верхней шкалы вправо на расстояние журнала ( x ) {\displaystyle \log(x)} . , сопоставляя начало верхней шкалы с меткой x {\displaystyle x} внизу, выравнивает каждую цифру y {\displaystyle y}. , в позиционном журнале ( y ) {\displaystyle \log(y)} на верхней шкале, с номером в позиционном журнале ( x ) + лог ( y ) {\displaystyle \log(x)+\log(y)} на нижней шкале. Потому что журнал ( x ) + журнал ( y ) = журнал ( x y ) {\displaystyle \log(x)+\log(y)=\log(xy)}. эта позиция на нижней шкале дает x y {\displaystyle xy} продукт x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} . Например, для вычисления 3*2, 1 на верхней шкале сдвигается на 2 на нижней шкале. Ответ 6 считывается с нижней шкалы, где 3 на верхней шкале. В общем случае 1 на верхней шкале перемещается на коэффициент внизу, а ответ считывается внизу, где другой коэффициент находится на верхней шкале.

Операции могут происходить "за пределами шкалы"; например, на приведенном выше графике видно, что слайд-правило не расположило 7 на верхней шкале над каким-либо числом на нижней шкале, поэтому оно не дает ответа для 2×7. В таких случаях пользователь может сдвигать верхнюю шкалу влево до тех пор, пока ее правый индекс не выровняется с 2, фактически умножая на 0,2, а не на 2, как показано на рисунке ниже:

Здесь пользователь слайдового правила должен помнить, что десятичная запятая должна быть отрегулирована соответствующим образом, чтобы исправить окончательный ответ. Мы хотели найти 2×7, но вместо этого вычислили 0.2×7=1.4. Таким образом, истинным ответом будет не 1.4, а 14. Сброс слайда - это не единственный способ работы с умножениями, которые приводят к результатам вне шкалы, например, 2×7; есть и другие способы:

• (1) Используйте двухдекадные шкалы А и В.
• (2) Используйте сложенные весы. В данном примере установите левую 1 из C напротив 2 из D. Подведите курсор к 7 на CF и прочитайте результат из DF.
• (3) Используйте инвертированную шкалу CI. Поместите 7 на шкале CI выше 2 на шкале D, а затем считайте результат со шкалы D ниже 1 на шкале CI. Так как 1 происходит в двух местах на шкале CI, одно из них всегда будет на шкале.
• (4) Используйте как инвертированную шкалу CI, так и шкалу C. Выровняйте 2 CI с 1 из D и прочитайте результат из D, ниже 7 на шкале С.

Метод 1 прост для понимания, но влечет за собой потерю точности. Преимущество метода 3 состоит в том, что он использует только две шкалы.

Отдел

На рисунке ниже показан расчет 5,5/2. 2 на верхней шкале помещается поверх 5,5 на нижней шкале. 1 на верхней шкале находится выше коэффициента, 2,75. Существует несколько методов деления, но метод, представленный здесь, имеет то преимущество, что конечный результат не может быть за пределами шкалы, так как можно выбрать использование 1 на любом конце.

Прочие операции

Кроме логарифмических весов, некоторые слайдовые правила имеют и другие математические функции, закодированные на других вспомогательных весах. Наиболее популярными были тригонометрические, обычно синусоидальные и касательные, общий логарифм (log10) (для взятия логарифма значения по шкале умножения), натуральный логарифм (ln) и экспоненциальные (^ex) шкалы. Некоторые правила включают пифагорейскую шкалу, для рисования сторон треугольников, и шкалу для рисования окружностей. Другие содержат шкалы для вычисления гиперболических функций. На линейных правилах шкалы и их маркировка являются высоко стандартизированными, с вариациями, как правило, происходящими только с точки зрения того, какие шкалы включены и в каком порядке:

Двоичное слайдовое правило, изготовленное Гилсоном в 1931 году, выполняло функцию сложения и вычитания, ограниченную дробью.

Корни и силы

Существуют однодекадные (C и D), двухдекадные (A и B) и трехдекадные (K) шкалы. Для расчета x 2 {\displaystyle x^{2}} например, найдите x на шкале D и прочитайте его квадрат на шкале A. Инвертирование этого процесса позволяет найти квадратные корни, и аналогично для степеней 3, 1/3, 2/3 и 3/2. Следует быть осторожным, когда основание, x, находится более чем в одном месте на его шкале. Например, на шкале A есть две девятки; чтобы найти квадратный корень из девяти, используйте первую, а вторая дает квадратный корень из 90.

Для проблем x y {\displaystyle x^{y}} используйте шкалы LL. Когда присутствует несколько весов LL, используйте весы с x. Сначала выровняйте самую левую 1 на шкале C с x на шкале LL. Затем найдите y на шкале C и спуститесь к шкале LL с x на ней. Эта шкала укажет ответ. Если y находится "вне шкалы", найдите x y / 2 {\displaystyle x^{y/2}} и заключите его в квадрат со шкалой A и B, как описано выше.

Тригонометрия

Шкалы S, T и ST используются для тригонометрических функций и кратных тригонометрических функций, для углов в градусах. Во многих слайдовых правилах шкалы S, T и ST отмечены градусами и минутами. В так называемых децитриговых моделях вместо них используются десятичные доли градусов.

Логариты и экспоненты

Логарифмы и экспоненты базиса 10 найдены с помощью шкалы L, которая является линейной. Некоторые правила слайда имеют шкалу Ln, которая предназначена для базы e.

Шкала Ln была изобретена учеником 11-го класса, Стивеном Б. Коэном, в 1958 году. Изначально предполагалось, что пользователь сможет выбрать экспоненту x (в диапазоне от 0 до 2,3) по шкале Ln и прочитать ^ex по шкале C (или D) и ^e-x по шкале CI (или DI). Компания Pickett, Inc. получила эксклюзивные права на шкалу. Позднее изобретатель создал набор "меток" на шкале Ln для расширения диапазона за пределы 2,3, но Pickett никогда не включал эти метки ни в одну из своих слайдовых правил. ^[]

Добавление и вычитание

Слайдовые правила обычно не используются для сложения и вычитания, но, тем не менее, это можно сделать с помощью двух различных методик.

Первый метод для выполнения сложения и вычитания на C и D (или любых сравнимых шкалах) требует преобразования задачи в одно из делений. Для сложения коэффициент двух переменных плюс один раз делитель равен их сумме:

x + y = ( x y + 1 ) y {\displaystyle x+y=\left({\frac {x}{y}}+1\right)y}

Для вычитания коэффициент двух переменных минус один раз делитель равен их разнице:

x - y = ( x y - 1 ) y {\displaystyle x-y=\left({\frac {x}{y}}-1\right)y}

Этот метод аналогичен методу сложения/вычитания, используемому для высокоскоростных электронных схем с логарифмической числовой системой в специализированных компьютерных приложениях, таких как суперкомпьютер Gravity Pipe (GRAPE) и скрытые модели Маркова.

Второй метод использует скользящую линейную шкалу L, доступную на некоторых моделях. Добавление и вычитание выполняется перемещением курсора влево (для вычитания) или вправо (для добавления), а затем возвратом слайда в 0 для считывания результата.

Стандартные линейные правила

Длина ползункового правила указана в терминах номинальной длины шкал. Весы на наиболее распространенных "10-дюймовых" моделях фактически имеют длину 25 см, так как они были сделаны по метрическим стандартам, хотя некоторые правила предлагают слегка удлиненные весы для упрощения манипуляций при переполнении результата. Карманные правила, как правило, 5 дюймов. Модели длиной в пару метров были проданы для подвешивания в классных комнатах в учебных целях. [1]

Обычно деления обозначают шкалу с точностью до двух значимых цифр, а пользователь оценивает третью цифру. Некоторые правила слайдов высокого класса имеют увеличительные курсоры, которые делают разметку более удобной для восприятия. Такие курсоры могут эффективно удвоить точность показаний, позволяя использовать 10-дюймовую линейку слайдов, а также 20-дюймовую линейку.

Были разработаны различные другие удобства. Тригонометрические шкалы иногда имеют двойную маркировку, в черном и красном цветах, с дополнительными углами, так называемый "дармштадтский" стиль. Дуплексные слайдовые правила часто дублируют некоторые из весов на задней стороне. Весы часто "расщепляются", чтобы получить более высокую точность.

Для различных форм инжиниринга, бизнеса и банковского дела были придуманы специализированные слайдовые правила. Они часто имели общие расчеты, непосредственно выраженные в виде специальных шкал, например, расчеты по кредитам, оптимальным объемам закупок или определенным инженерным уравнениям. Например, компания Fisher Controls распространила специализированное ползунковое правило, адаптированное для решения уравнений, используемых для выбора подходящего размера промышленных клапанов для регулирования расхода. ^[]

Циркулярные правила слайдов

Правила круговых слайдов бывают двух основных типов, один с двумя курсорами (слева), а другой с подвижным диском и одним курсором (справа). Варианты с двумя курсорами выполняют умножение и деление, сохраняя фиксированный угол между курсорами при их вращении вокруг циферблата. Версия с одним курсором больше похожа на стандартное слайд-правило за счет соответствующего выравнивания шкал.

Основным преимуществом круглого слайда является то, что самый длинный размер инструмента был уменьшен примерно в 3 раза (т.е. по адресу π). Например, внешняя шкала 10-сантиметровой окружности имела бы максимальную точность, равную обычной 30-сантиметровой скользящей линейке. Правила скольжения по окружности также исключают расчеты "вне шкалы", поскольку шкалы были спроектированы так, чтобы "обернуться"; они никогда не должны быть переориентированы, когда результаты близки к 1,0 - правило всегда находится на шкале. Однако для нециклических невинтовых весов, таких как S, T и LL, длина шкалы укорачивается, чтобы освободить место для конечных полей.

Правила скольжения по кругу механически более прочны и плавны, но их точность выравнивания шкалы чувствительна к центрированию центрального шарнира; смещение центра шарнира на 0,1 мм в минуту может привести к наихудшему случаю ошибки выравнивания на 0,2 мм. Шарнир, однако, предотвращает появление царапин на лице и курсорах. Высокоточные шкалы размещены на внешних кольцах. Вместо "разделенных" шкал в высококлассных круговых правилах используются спиральные шкалы для более сложных операций, например, для весов бревенчатых. Одна восьмидюймовая шкала премиум-класса имеет 50-дюймовую спиральную шкалу.

Основными недостатками правил круговых слайдов являются сложность позиционирования фигур вдоль вращающегося диска, а также ограниченное количество весов. Другим недостатком правил круговых слайдов является то, что менее важные шкалы расположены ближе к центру и имеют меньшую точность. Большинство студентов научилось использовать правила слайдов на линейных правилах слайдов, и не нашли причины для переключения.

Одно слайдовое правило, остающееся в ежедневном использовании по всему миру - E6B. Это круговая слайдовая линейка, впервые созданная в 1930-х годах для пилотов самолетов, чтобы помочь в оценке мертвых. С помощью весов, напечатанных на раме, она также помогает в решении таких различных задач, как преобразование значений времени, расстояния, скорости и температуры, ошибок компаса, а также расчет расхода топлива. Так называемое "колесо молитвы" до сих пор доступно в авиационных магазинах и широко используется. В то время как GPS сократил использование мертвых расчетов для аэронавигации, и ручные калькуляторы взяли на себя многие из его функций, E6B по-прежнему широко используется в качестве основного или резервного устройства, и большинство летных школ требуют, чтобы их студенты имеют некоторую степень его мастерства.

В 1952 году швейцарская часовая компания Breitling представила пилотские наручные часы с интегрированной круговой линейкой, специализирующейся на летных расчетах: Breitling Navitimer. Круговая линейка Navitimer, называемая Breitling "навигационным компьютером", отличалась такими характеристиками, как скорость полета, скорость/время подъема/спуска, время полета, расстояние и расход топлива, а также функции преобразования количества топлива в километрах и галлонах литров.

Материалы

Традиционно слайды изготавливались из твердых пород дерева, таких как красное дерево или самшит с курсорами из стекла и металла. Как минимум один высокоточный инструмент был изготовлен из стали.

В 1895 году японская фирма "Хемми" начала изготавливать из бамбука скользящие правила, преимущества которых заключались в том, что они были размерно стабильными, прочными и естественно самосмазывающимися. Эти правила слайдов из бамбука были введены в Швеции в сентябре 1933 г. [2], и, вероятно, лишь чуть раньше - в Германии. Весы были изготовлены из целлулоида или пластика. Позднее правила слайдов были сделаны из пластика или алюминия, окрашенного пластиком. Позже курсоры были акриловыми или поликарбонатными, скользящими по тефлоновым подшипникам.

На всех слайдах премиум-классах выгравированы цифры и шкалы, а затем заполнены краской или другой смолой. Нарисованные или отпечатанные правила слайдов считались уступающими, так как маркировка могла стираться. Тем не менее, Pickett, вероятно, самый успешный американский производитель слайдов, сделал все печатные весы. Премиум правила слайдов включали умные уловы, чтобы правило не развалилось случайно, и бамперы, чтобы защитить весы и курсор от натирания на столешницу. Рекомендуемый способ очистки гравированной маркировки - легкая чистка стальной шерстью. Для окрашенных предметных стекол, а также при слабом сердцебиении используйте разбавленную промышленную жидкость для мытья окон и мягкую ткань.

Слайдовая линейка была изобретена около 1620-1630 годов, вскоре после публикации Джоном Напьером концепции логарифма. Эдмунд Гюнтер из Оксфорда разработал вычислительный прибор с единой логарифмической шкалой, который с помощью дополнительных измерительных инструментов можно было использовать для умножения и деления. Первое описание этой шкалы было опубликовано в Париже в 1624 г. английским математиком Эдмундом Вингейтом (ок. 1593 - 1656 гг.) в книге "L'use de la reigle de proportion en l'arithmetique & geometrie" ("Использование пропорций в арифметике и геометрии"). Книга содержит двойную шкалу, на одной стороне которой находится логарифмическая шкала, а на другой - табличная шкала. В 1630 году Уильям Аутред из Кембриджа изобрел круговую слайдовую линейку, а в 1632 году он объединил две правила Гюнтера, удерживая их вместе со стрелками, чтобы создать устройство, узнаваемое как современная слайдовая линейка. Как и его современник из Кембриджа, Исаак Ньютон, Уотед преподавал свои идеи в частном порядке своим ученикам, но с опозданием опубликовал их, и, как и Ньютон, он оказался вовлеченным в острую полемику по поводу приоритета, с его однократным учеником Ричардом Деламейном и предыдущими претензиями Уингейта. Идеи Уильяма Форстера были обнародованы только в публикациях его ученика Уильяма Форстера в 1632 и 1653 годах.

В 1677 году Генри Коггешаль создал двухфутовую складчатую норму для измерения древесины, названную слайдовой нормой Коггешаля. Его конструкция и использование для инструмента дали слайд правило цель вне математического исследования.

В 1722 году Уорнер ввел двух- и трехдекадные шкалы, а в 1755 году Эверард включил инвертированную шкалу; слайд-правило, содержащее все эти шкалы, обычно называется "полифазным" правилом.

В 1815 году Питер Рогет изобрел слайд-правило для логарифма логарифма, которое включало в себя шкалу, отображающую логарифм логарифма. Это позволяло пользователю непосредственно выполнять вычисления с участием корней и экспонентов. Это было особенно полезно для дробных вычислений.

Современная форма

Более современная форма была создана в 1859 году лейтенантом французской артиллерии Амеде Мангеймом, "которому посчастливилось, что его правление было принято фирмой с национальной репутацией, и что оно было принято французской артиллерией". Примерно в то же время, когда инженерное дело стало признанной профессиональной деятельностью, слайд-правила получили широкое распространение в Европе. Они стали широко использоваться в Соединенных Штатах только в 1881 году, когда Эдвин Тахер ввел там цилиндрическое правило. Дуплексное правило было изобретено Уильямом Коксом в 1891 году, и было произведено фирмой Keuffel and Esser Co. из Нью-Йорка.

Астрономические работы также требовали точных вычислений, и в 19 веке в Германии в одной обсерватории использовалась стальная скользящая линейка длиной около 2 метров. К ней был прикреплен микроскоп, что давало точность до шести знаков после запятой.

Во время Второй мировой войны бомбардировщики и штурманы, которым требовались быстрые расчеты, часто использовали специальные слайдовые правила. Один из офисов ВМС США фактически спроектировал типовое слайдовое правило "шасси" с алюминиевым корпусом и пластиковым курсором, в которое можно было поместить целлулоидные карты (напечатанные с обеих сторон) для специальных вычислений. Процесс был изобретен для расчета дальности полета, расхода топлива и высоты над уровнем моря для самолетов, а затем адаптирован для многих других целей.

На протяжении 1950-х и 1960-х годов слайдовая линейка была символом профессии инженера (так же, как стетоскоп символизирует медицинскую профессию). ^[] Немецкий ученый-ракетчик Вернер фон Браун привез два старинных слайда "Нестлер" 1930-х годов, когда после Второй мировой войны он переехал в США для работы над американской космической программой. За всю свою жизнь он никогда не пользовался никакими другими карманными вычислительными устройствами; слайдовые правила служили ему отличным инструментом для быстрого расчета параметров конструкции ракеты и других показателей. Алюминиевые слайды марки Pickett выполнялись на пяти космических полетах "Аполлона", в том числе на Луну, согласно рекламе на коробках со слайдами марки Pickett N600 [3].

Некоторые студенты и инженеры инженерных специальностей носили десятидюймовые слайды в поясных кобурах, и даже в середине 1970-х годов это было обычным явлением в кампусах. Студенты также могли держать десять или двадцать дюймовые правила для точной работы дома или в офисе, нося с собой пятидюймовый карманный слайд-правило.

В 2004 году исследователи в области образования Дэвид Б. Шер и Дин С. Натаро задумали новый тип слайдовой линейки, основанной на логарифмическом простафеерезисе, алгоритме быстрого вычисления продуктов, который предшествует логарифмам. Однако практический интерес к созданию такого алгоритма, выходящего за рамки первоначального прототипа, был незначительным. [4]

Сокращение

Значение слайдовой линейки стало уменьшаться по мере того, как электронные компьютеры - новый, но очень скудный ресурс в 1950-х годах - стали широко доступны для технических работников в 1960-х годах. Внедрение Fortran в 1957 году сделало компьютеры практичными для решения математических задач скромного размера. IBM представила серию более доступных по цене компьютеров, IBM 650 (1954), IBM 1620 (1959), IBM 1130 (1965), предназначенных для рынка науки и техники. Язык программирования BASIC Джона Кемени (1964) облегчил учащимся использование компьютеров. Миникомпьютер DEC PDP-8 был представлен в 1965 году.

Компьютеры также изменили характер вычислений. При использовании слайдовых правил большое внимание уделялось работе с алгеброй для получения выражений в наиболее вычисляемой форме. Пользователи правил слайдов просто аппроксимировали или пропускали небольшие термины для упрощения вычислений. Фортран позволял вводить сложные формулы из учебников без усилий по переформулированию. Часто численное интегрирование было проще, чем попытка найти решение сложных задач в закрытой форме. Молодой инженер, просящий компьютерного времени для решения проблемы, которую можно было бы выполнить несколькими промахами на слайдовой линейке, стал юмористическим клише. Во многих компьютерных центрах на стене висела рамочная слайдовая линейка с надписью "В случае чрезвычайной ситуации разбить стекло".

Еще одним шагом на пути к замене слайдовых правил электроникой стала разработка электронных калькуляторов для научно-инженерного использования. Первыми из них стали Лаборатории Ванга LOCI-2, представленные в 1965 году, в которых использовались логарифмы для умножения и деления, и Hewlett-Packard HP-9100, представленные в 1968 году. HP-9100 обладал тригонометрическими функциями (грех, соус, загар) в дополнение к экспонентам и логарифмам. В нем использовался алгоритм CORDIC (цифровой компьютер с вращением координат), который позволяет вычислять тригонометрические функции, используя только операции сдвига и добавления. Этот метод способствовал разработке все меньших по размеру научных калькуляторов.

Последним гвоздем в гроб для слайдовой линейки стал запуск карманных научных калькуляторов, первым из которых стал Hewlett-Packard HP-35 1972 года. Такие калькуляторы стали известны как калькуляторы "слайдовой линейки", так как они могли выполнять большинство или все функции на слайдовой линейке. При нескольких сотнях долларов даже это считалось дорогостоящим для большинства студентов. В то время как профессиональные слайд-правила также могли быть довольно дорогими, в аптеках часто продавались базовые пластиковые модели стоимостью менее 20 долларов. Но уже к 1975 году базовые четырехфункциональные электронные калькуляторы можно было приобрести за менее чем 50 долларов. К 1976 году ТИ-30 предлагал научный калькулятор стоимостью менее 25 долларов. После этого рынок слайдовых правил быстро иссяк по мере того, как небольшие научные калькуляторы становились доступными.

• Слайдовое правило имеет тенденцию умерить обманчивость "ложной точности" и значимости. Типичная точность, доступная пользователю слайда, составляет примерно три места точности. Это находится в хорошем соответствии с большинством данных, доступных для ввода в инженерные формулы. При использовании современного карманного калькулятора точность может отображаться с точностью до семи и более знаков после запятой, в то время как в реальности результаты никогда не могут быть более точными, чем доступные входные данные.
• Слайдовое правило требует постоянной оценки порядка величины результатов. На слайде правило 1.5 × 30 (что равно 45) покажет тот же результат, что и 1 500 000 × 0.03 (что равно 45 000). Инженер должен постоянно определять разумность результатов, то, что может быть потеряно при неосторожном вводе чисел в компьютерную программу или калькулятор.
• При выполнении последовательности умножений или делений на одно и то же число ответ часто можно определить, просто взглянув на слайд-правило без каких-либо манипуляций. Это может быть особенно полезно при расчете процентов, например, для тестовых баллов, или при сравнении цен, например, в долларах за килограмм. Многократные вычисления скорости-времени-расстояния могут быть выполнены в режиме громкой связи с первого взгляда с помощью слайд-правила.
• Слайдовое правило не зависит от электричества.
• Слайдовая линейка - это легко воспроизводимая технология. На примере слайдовой линейки компетентный ремесленник может построить из рудиментарных материалов, используя непромышленные процессы.
• Слайдовые правила высоко стандартизированы, поэтому нет необходимости что-либо переделывать при переходе на другое правило.
• Правила скольжения универсальны и могут применяться в ситуациях и средах, в которых у человека, возможно, снижена ловкость рук (например, из-за необходимости использования защитных перчаток). И наоборот, работать с калькулятором в таких ситуациях может быть сложно - слайд-правило вряд ли приведет к ошибке, аналогичной ошибке, возникшей в результате ошибочного нажатия не той кнопки на калькуляторе.
• Слайдовые правила могут быть сделаны из картона или бумаги. Многие бесплатные графики или специализированные вычислительные устройства, изготовленные из картона, на самом деле являются специализированными линейными или круговыми слайд-правилами.

Одно из преимуществ использования слайдовой линейки вместе с электронным калькулятором состоит в том, что важный расчет можно проверить, сделав его на обоих; так как два инструмента настолько разные, что мало шансов дважды допустить одну и ту же ошибку.

• Ошибки могут возникнуть из-за механической неточности.
• Расчеты с использованием слайдовой линейки имеют ограниченную точность из-за их аналоговых входов и выходов. И наоборот, благодаря дискретному числовому входу и плавающим электронным операциям даже скромные современные калькуляторы имеют выходное разрешение не менее шести значащих цифр.

• Abacus
• Логарифм