Экспонента

Свойства

Поскольку экспоненциальные функции используют экспоненцию, они подчиняются тем же правилам. Таким образом,

exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) = e x + y {\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)=e^{x+y}} . Отсюда следует, что x a ⋅ x b = x a + b {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}}. .

Натуральный логарифм - это обратная операция экспоненциальной функции.

ln ( x ) = log e ( x ) = log ( x ) log ( e ) {\displaystyle \ln(x)=\log _{e}(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}}

Экспоненциальная функция удовлетворяет интересному и важному свойству в дифференциальном исчислении,

d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}} ,

Это означает, что наклон экспоненциальной функции равен самой экспоненциальной функции, и впоследствии это означает, что она имеет наклон 1 при x = {\displaystyle0 x=0}. Именно благодаря этим свойствам она является важной функцией в математике.

Приложения

Экспоненциальная функция является одной из самых полезных математических функций. Она используется для представления экспоненциального роста, который применяется практически во всех научных дисциплинах, а также широко распространен в финансах. Экспоненциальный распад также имеет место, например, радиоактивный распад и поглощение света.

Одним из примеров экспоненциальной функции в реальной жизни являются проценты в банке. Если человек кладет 100 фунтов стерлингов на счет, который получает 3% процентов в месяц, то баланс каждый месяц будет таким (при условии, что деньги не тронуты):

Месяц	Баланс	Месяц	Баланс
Январь	£100.00	Июль	£119.41
Февраль	£103.00	Август	£122.99
Март	£106.09	Сентябрь	£126.68
Апрель	£109.27	Октябрь	£130.48
Май	£112.55	Ноябрь	£134.39
Июнь	£115.93	Декабрь	£138.42

Обратите внимание, как с каждым месяцем увеличиваются дополнительные деньги от процентов. Чем больше первоначальный баланс, тем больше процентов получит человек.

Ниже приведены два математических примера экспоненциальных функций.

Связь с математической константой e

Хотя основанием ( a {\displaystyle a} ) может быть любое число больше нуля, например, 10 или 1/2, часто это особое число, называемое e. Число e нельзя записать точно, но оно почти равно 2,71828.

Число e важно для каждой экспоненциальной функции. Например, банк выплачивает проценты в размере 0,01 процента каждый день. Один человек берет деньги под проценты и кладет их в коробку. Через 10 000 дней (около 30 лет) у него становится в 2 раза больше денег, чем было в начале. Другой человек берет свои деньги под проценты и кладет их обратно в банк. Поскольку банк теперь платит ему проценты на его проценты, количество денег является экспоненциальной функцией. Через 10 000 дней у него будет не в 2 раза больше денег, чем в начале, а в 2,718145 раз больше, чем в начале. Это число очень близко к числу e. Если банк выплачивает проценты чаще, так что сумма, выплачиваемая каждый раз, меньше, то число будет ближе к числу e.

Человек также может посмотреть на рисунок, чтобы понять, почему число e важно для экспоненциальных функций. На рисунке изображены три разные кривые. Кривая с черными точками - это экспоненциальная функция с основанием немного меньше e. Кривая с короткими черными линиями - это экспоненциальная функция с основанием немного больше e. Синяя кривая - это экспоненциальная функция с основанием, точно равным e. Красная линия - это касательная к синей кривой. Она касается синей кривой в одной точке, не пересекая ее. Человек может видеть, что красная кривая пересекает ось x, линию, идущую слева направо, в точке -1. Это верно только для синей кривой. Именно по этой причине экспоненциальная функция с основанием e является особенной.

e - это единственное число a, такое, что значение производной экспоненциальной функции f (x) = ax (синяя кривая) в точке x = 0 равно ровно 1. Для сравнения показаны функции 2x (пунктирная кривая) и 4x (пунктирная кривая); они не являются касательными к линии с наклоном 1 (красная).