Объяснение

Объяснение (сила) - это арифметическая операция над числами. Это повторное умножение, так же как и повторное сложение. Люди пишут выражение с верхним индексом. Это выглядит следующим образом: x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . В прошлом использовались другие методы математической нотации. При написании с помощью оборудования, которое не может использовать верхний индекс, люди пишут полномочия с помощью знаков ^ или **, таким образом 2^3 или 2**3 означает 2 3 {\displaystyle 2^{3}}. $2^{3}$ .

Номер x {\displaystyle x} называется базовым, а номер y {\displaystyle y} - экспонентом. Например, в 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ 2 - база и 3 - экспонент.

Для вычисления 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ человек должен умножить число 2 само по себе в 3 раза. Итак, 2 3 = 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . В результате 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Уравнение можно было прочитать вслух: 2, поднятое до силы 3, равно 8.

Примеры:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ для каждого числа x

Если экспонента равна 2, то сила называется квадратом, потому что площадь квадрата вычисляется с помощью 2 {\displaystyle a^{2}}. $a^{2}$ . Итак,

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ это квадрат x {\displaystyle x}

Если показатель равен 3, то сила называется кубом, потому что объем куба вычисляется с помощью 3 {\displaystyle a^{3}}. $a^{3}$ . Итак,

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ это куб x {\displaystyle x}

Если показатель равен -1, то человек должен вычислить обратную величину основания. Итак,

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Если показатель является целым числом и меньше 0, то человек должен инвертировать число и вычислить мощность. Например:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Если экспонента равна 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}} ${\frac {1}{2}}$ , то результатом экспоненции является квадратный корень базы. Таким образом, x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Пример:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Аналогично, если экспонента 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}} ${\frac {1}{n}}$ , то результатом будет n-й корень:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Если экспонента рациональное число p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} ${\frac {p}{q}}$ то в результате qth корень основания поднимается до силы p, так что..:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Экспонент может даже не быть рациональным. Чтобы поднять базу a до иррациональной xth мощности, мы используем бесконечную последовательность рациональных чисел (xi), предел которой равен x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

вот так:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Есть несколько правил, которые помогают вычислить силы:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Можно рассчитать экспоненцию матриц. Матрица должна быть квадратной. Например: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Коммутационная деятельность

Как сложение, так и умножение являются коммутативными. Например, 2+3 совпадает с 3+2, а 2 - 3 совпадает с 3 - 2. Несмотря на то, что экспоненциация является повторным умножением, она не является коммутативной. Например, 2³=8, а 3²=9.

Обратные операции

Добавление имеет одну обратную операцию: вычитание. Также, умножение имеет одну обратную операцию: деление.

Но у экспоненции есть две обратные операции: Корень и логарифм. Это происходит потому, что экспоненциация не является коммутационной. Это можно увидеть в данном примере:

Если у вас x+2=3, то вы можете использовать вычитание, чтобы узнать, что x=3-2. Это то же самое, если у вас 2+x=3: вы также получите x=3-2. Это потому, что x+2 совпадает с 2+x.
Если у вас есть x - 2=3, то вы можете использовать деление, чтобы выяснить, что x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . То же самое, если у вас 2 - x=3: Вы также получаете x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Это потому, что х - 2 это то же самое, что и х - 2.
Если у вас x²=3, то вы используете (квадратный) корень, чтобы узнать x: Вы получаете результат x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Однако, если у вас 2x=3, то вы не можете использовать корень, чтобы узнать x. Скорее, вы должны использовать (двоичный) логарифм, чтобы узнать x: Вы получите результат x=log2(3).

Связанные страницы

Экспонент

Вопросы и ответы

В: Что такое экспоненция?

О: Экспонирование - это арифметическая операция над числами, которую можно представить как повторное умножение.

В: Как записывается экспоненция?

О: Экспоненция обычно записывается как x^y, где x - основание, а y - экспонента. Оно также может быть записано с помощью знаков ^ или **, например, 2^4 или 2**4.

В: Каковы некоторые примеры экспоненции?

О: Примеры экспоненты включают 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 для каждого числа x; и 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

В: Что означает, когда экспонента равна -1?

О: Когда экспонента равна -1, то мощность просто равна обратной величине основания (x^(-1) = 1/x).

В: Как вычислить иррациональную мощность основания?

О: Чтобы возвести основание a в иррациональную x-ю степень, мы используем бесконечную последовательность рациональных чисел (xn), пределом которой является x (a^x = lim n->бесконечность a^(x_n)).

В: Существуют ли правила, которые облегчают вычисление экспоненты?

О: Да, есть несколько правил, которые облегчают вычисление экспоненты. К ним относятся (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); и так далее.