Матрица (математика)

Определения и обозначения

Горизонтальные линии в матрице называются строками, а вертикальные - столбцами. Матрица с m строками и n столбцами называется m-by-n матрицей (или m×n матрицей) и m и n называются ее размерами.

Места в матрице, где номера называются записями. Запись матрицы A, которая лежит в строке с номером i и номером столбца j, называется записью i,j A. Это записывается как A[i,j] или ai_,j.

Пишем A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}} для определения m × n матрицы A, при этом каждая запись в матрице называется ai_,j для всех 1 ≤ i ≤ m и 1 ≤ j ≤ n.

Пример

Матрица

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\1&2&7\4&9&2\6&1&5\end{bmatrix}}}

это матрица 4×3. Эта матрица имеет m=4 строки, а n=3 столбца.

Элемент A[2,3] или a2_,3 равен 7.

Операции

Добавление

Сумма двух матриц - это матрица, которая (i,j)-четвертая запись равна сумме (i,j)-четвертых записей двух матриц:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 ] + [ 0 5 7 5 0 2 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\1&0&0\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\7&5&0\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\1+7&0+5&0+0\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\8&5&0\3&3&3\end{bmatrix}}}

Две матрицы имеют одинаковые размеры. Здесь A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} истинно.

Умножение двух матриц

Умножение двух матриц немного сложнее:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 a ⋅ b 1 + a 2 a ⋅ b 3 ) ( a 1 a ⋅ b 2 + a 2 a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 a ⋅ b 1 + a 4 a ⋅ b 3 ) ( a 3 a ⋅ b 2 + a 4 a ⋅ b 4 ) ] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\a3&a4\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\b3&b4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\end{bmatrix}}}

Итак, с Numbers:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\1&4\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\22&3\end{bmatrix}}}

• две матрицы можно умножать друг с другом, даже если они имеют разные размеры, при условии, что количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй.
• Результатом умножения, называемого продуктом, является другая матрица с тем же количеством строк, что и первая матрица, и тем же количеством столбцов, что и вторая матрица.
• умножение матриц не является коммутативным, что в целом означает, что A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}.
• умножение матриц является ассоциативным, что означает, что ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Специальные матрицы

Есть специальные матрицы.

Квадратная матрица

Квадратная матрица имеет такое же количество строк, что и столбцы, поэтому m=n.

Примером квадратной матрицы является

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4_COPY11&9&1-7&6&8\end{bmatrix}}}

Эта матрица имеет 3 строки и 3 столбца: m=n=3.

Идентификация

Каждый квадратный размерный набор матрицы имеет специальный аналог, называемый "матрицей идентичности". Матрица тождественности не имеет ничего, кроме нулей, кроме главной диагонали, где все они есть. Например:

[ 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0_COPY11&1&0_COPY11&0&1\end{bmatrix}}}

это матрица личности. Для каждого набора квадратных размеров существует ровно одна матрица идентичности. Матрица идентичности особенная, потому что при умножении любой матрицы на матрицу идентичности, результатом всегда является исходная матрица без изменений.

обратная матрица

Обратная матрица - это матрица, которая при умножении на другую матрицу равна матрице идентичности. Например:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\6&7\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8-6&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0_COPY11&1\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8-6&7\end{bmatrix}}} является обратной величиной [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\6&7\end{bmatrix}}}} .

Формула обратной матрицы 2х2, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\z&v\end{bmatrix}}} есть:

(1 d e t) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y-z&x\end{bmatrix}}}

Где d e t {\displaystyle det} - детерминант матрицы. В матрице 2х2 детерминант равен:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Матрица из одной колонки

Матрица, в которой много строк, но только один столбец, называется вектором столбца.

Детерминанты

Детерминант берет квадратную матрицу и вычисляет простое число - скаляр. Чтобы понять, что означает это число, возьмите каждый столбец матрицы и нарисуйте его как вектор. Параллелограмма, построенная по этим векторам, имеет область, которая является детерминантой. Для всех матриц 2х2 формула очень проста: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}.

Для матриц 3х3 формула сложнее: det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Простых формул для определения детерминант больших матриц не существует, и многие компьютерные программисты изучают, как заставить компьютеры быстро находить большие детерминанты.

Свойства детерминантов

Есть три правила, которым следуют все детерминанты. Вот эти:

• Детерминант матрицы идентичности - 1
• Если происходит обмен двумя строками или двумя столбцами матрицы, то детерминант умножается на -1. Математики называют это чередованием.
• Если все числа в одной строке или столбце умножить на другое число n, то определитель умножается на n. Также, если в матрице M есть столбец v - это сумма матриц из двух столбцов v 1 {\displaystyle v_{1}} и v 2 {\displaystyle v_{2}}. тогда детерминантом M является сумма детерминантов M с v 1 {\displaystyle v_{1}} вместо v и M с v 2 {\displaystyle v_{2}} вместо v. Эти два условия называются мультилинейностью.

См. также

• Линейная алгебра
• числовая линейная алгебра