В математике биективная функция или биекция - это функция f : A → B, которая является одновременно инъекцией и сюръекцией. Это означает: для каждого элемента b в кодомене B существует ровно один элемент a в домене A такой, что f(a)=b. Другое название биекции - соответствие 1-1.
Термин биекция и связанные с ним термины сюръекция и инъекция были введены Николасом Бурбаки. В 1930-х годах он и группа других математиков опубликовали серию книг по современной высшей математике.
Формально:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}
является биективной функцией, если ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B}
существует единственное a ∈ A {\displaystyle a\in A}
такое, что f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } 
Элемент b {\displaystyle b}
называется образом элемента a {\displaystyle a}
.
Элемент a {\displaystyle a} называется пред-образом элемента b {\displaystyle b} .
Примечание: Суръекция означает минимум одно предварительное изображение. Инъекция означает максимум один предварительный образ. Таким образом, биекция означает ровно один предварительный образ.
Кардинальность - это количество элементов в множестве. Кардинальность множества A={X,Y,Z,W} равна 4. Мы пишем #A=4.
Формально: Пусть f : A → B - биекция. Обратная функция g : B → A определяется следующим образом: если f(a)=b, то g(b)=a. (См. также "Обратная функция").
Примечание: обозначение обратной функции f является запутанным. А именно,
f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)}
обозначает обратную функцию функции f, а x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}
обозначает обратное значение числа x.
Пусть f(x):ℝ→ℝ - вещественная функция y=f(x) от вещественного аргумента x. (Это означает, что и вход, и выход - числа).
Доказать, что функция является биекцией, означает доказать, что она является одновременно и сюръекцией, и инъекцией. Поэтому формальные доказательства редко бывают простыми. Ниже мы обсуждаем и не доказываем. (См. сюръекция и инъекция.)
Пример: Линейная функция наклонной линии является биекцией. То есть y=ax+b, где a≠0 - биекция.
Обсуждение: Каждая горизонтальная прямая пересекает наклонную прямую ровно в одной точке (доказательства см. в разделах "Сюръекция" и "Инъекция"). Изображение 1.
Пример: Полиномиальная функция третьей степени: f(x)=x3 является биекцией. Изображение 2 и изображение 5 - тонкая желтая кривая. Обратной функцией является функция кубического корня f(x)= ∛x, и она также является биекцией f(x):ℝ→ℝ. Изображение 5: толстая зеленая кривая.
Пример: Квадратичная функция f(x) = x2 не является биекцией (из ℝ→ℝ). Изображение 3. Это не сюръекция. Это не инъекция. Однако мы можем ограничить его область и кодомен множеством неотрицательных чисел (0,+∞), чтобы получить (инвертируемую) биекцию (см. примеры ниже).
Примечание: Последний пример показывает это. Чтобы определить, является ли функция биекцией, нам нужно знать три вещи:
Пример: Предположим, что наш автомат функций имеет вид f(x)=x².
Пусть f(x):A→B, где A и B - подмножества ℝ.
Пример: Квадратичная функция, определенная на ограниченной области и кодомене [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )}
определяется f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 
является биекцией. Изображение 6: тонкая желтая кривая.
Пример: Функция квадратного корня, определенная на ограниченной области и кодомене [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} определяется f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}. 
является биекцией, определяемой как обратная функция квадратичной функции: x2 . Изображение 6: толстая зеленая кривая.
Пример: Экспоненциальная функция, определенная на области ℝ и ограниченной кодовой области (0,+∞)
f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,\,(0,+\infty )}
определяется f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1}. 
является биекцией. Изображение 4: тонкая желтая кривая (a=10).
Пример: Основание логарифмической функции a определено на ограниченной области (0,+∞) и кодомене ℝ.
f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\,\mathbf {R} }
определяется f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1} 
является биекцией, определяемой как обратная функция экспоненциальной функции: ax . Изображение 4: толстая зеленая кривая (a=10).
| Биекция: каждая вертикальная линия (в домене) и каждая горизонтальная линия (в кодомене) пересекают ровно одну точку графа. | ||
|
1. Биекция. Все наклонные прямые являются биекциями f(x):ℝ→ℝ. |
2. Биекция. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³. |
3. Не является биекцией. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² не является сюръекцией. Это не инъекция. |
|
4. Биекции. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (тонкий желтый) и ее обратная f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10 x (толстый зеленый). |
5. Биекции. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (тонкий желтый) и его обратная f(x)=∛x (толстый зеленый). |
6. Биекции. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (тонкий желтый) и его обратная f(x)=√x (толстый зеленый). |
О: Биективная функция, также известная как биекция, - это математическая функция, которая одновременно является инъекцией и сюръекцией.
О: Инъекция означает, что для любых двух элементов a и a' в области A, если f(a)=f(a'), то a=a'.
A: Сюръекция означает, что для каждого элемента b в кодомене B существует хотя бы один элемент a в области A такой, что f(a)=b.
A: Эквивалентным утверждением для биекции является то, что для каждого элемента b в кодомене B существует ровно один элемент a в домене A, такой, что f(a)=b.
О: Биекция также известна как "соответствие 1-1" или "соответствие один-к-одному".
О: Термины "биекция", "сюръекция" и "инъекция" были введены Николя Бурбаки и группой других математиков в 1930-х годах.
A: Бурбаки и другие математики опубликовали ряд книг по современной высшей математике.
