Биективная функция

В математике биективная функция или биекция - это функция f : A → B, которая является одновременно инъекцией и сюръекцией. Это означает: для каждого элемента b в кодомене B существует ровно один элемент a в домене A такой, что f(a)=b. Другое название биекции - соответствие 1-1.

Термин биекция и связанные с ним термины сюръекция и инъекция были введены Николасом Бурбаки. В 1930-х годах он и группа других математиков опубликовали серию книг по современной высшей математике.

Основные свойства

Формально:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ является биективной функцией, если ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} $\forall b\in B$ существует единственное a ∈ A {\displaystyle a\in A} $a\in A$ такое, что f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Элемент b {\displaystyle b} $b$ называется образом элемента a {\displaystyle a} .

Формальное определение означает: Каждый элемент кодомена B является образом ровно одного элемента в домене A.

Элемент a {\displaystyle a} называется пред-образом элемента b {\displaystyle b} $b$ .

Формальное определение означает: Каждый элемент кодомена B имеет ровно один преобраз в домене A.

Примечание: Суръекция означает минимум одно предварительное изображение. Инъекция означает максимум один предварительный образ. Таким образом, биекция означает ровно один предварительный образ.

Кардинальность

Кардинальность - это количество элементов в множестве. Кардинальность множества A={X,Y,Z,W} равна 4. Мы пишем #A=4.

Определение: Два множества A и B имеют одинаковую кардинальность, если между ними существует биекция. Таким образом, #A=#B означает, что существует биекция из A в B.

Биекции и обратные функции

Биекции инвертируются путем перестановки стрелок. Новая функция называется обратной функцией.

Формально: Пусть f : A → B - биекция. Обратная функция g : B → A определяется следующим образом: если f(a)=b, то g(b)=a. (См. также "Обратная функция").

Обратной функцией обратной функции является исходная функция.
Функция имеет обратную функцию тогда и только тогда, когда она является биекцией.

Примечание: обозначение обратной функции f является запутанным. А именно,

f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} $f^{-1}(x)$ обозначает обратную функцию функции f, а x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$ обозначает обратное значение числа x.

Примеры

Элементарные функции

Пусть f(x):ℝ→ℝ - вещественная функция y=f(x) от вещественного аргумента x. (Это означает, что и вход, и выход - числа).

Графическое значение: Функция f является биекцией, если каждая горизонтальная линия пересекает график f ровно в одной точке.
Алгебраический смысл: Функция f является биекцией, если для каждого действительного числа y_o можно найти хотя бы одно действительное число x_o такое, что y_o =f(x_o ) и если f(x_o )=f(x₁ ) означает x_o =x₁ .

Доказать, что функция является биекцией, означает доказать, что она является одновременно и сюръекцией, и инъекцией. Поэтому формальные доказательства редко бывают простыми. Ниже мы обсуждаем и не доказываем. (См. сюръекция и инъекция.)

Пример: Линейная функция наклонной линии является биекцией. То есть y=ax+b, где a≠0 - биекция.

Обсуждение: Каждая горизонтальная прямая пересекает наклонную прямую ровно в одной точке (доказательства см. в разделах "Сюръекция" и "Инъекция"). Изображение 1.

Пример: Полиномиальная функция третьей степени: f(x)=x³ является биекцией. Изображение 2 и изображение 5 - тонкая желтая кривая. Обратной функцией является функция кубического корня f(x)= ∛x, и она также является биекцией f(x):ℝ→ℝ. Изображение 5: толстая зеленая кривая.

Пример: Квадратичная функция f(x) = x² не является биекцией (из ℝ→ℝ). Изображение 3. Это не сюръекция. Это не инъекция. Однако мы можем ограничить его область и кодомен множеством неотрицательных чисел (0,+∞), чтобы получить (инвертируемую) биекцию (см. примеры ниже).

Примечание: Последний пример показывает это. Чтобы определить, является ли функция биекцией, нам нужно знать три вещи:

домен
функциональный аппарат
кодомен

Пример: Предположим, что наш автомат функций имеет вид f(x)=x².

Эта машина и domain=ℝ и codomain=ℝ не является сюръекцией и не является инъекцией. Однако,
этот же автомат и домен=[0,+∞) и кодомен=[0,+∞) является одновременно сюръекцией и инъекцией и, следовательно, биекцией.

Биекции и их инверсии

Пусть f(x):A→B, где A и B - подмножества ℝ.

Предположим, что f не является биекцией. Для любого x, где производная f существует и не равна нулю, существует окрестность x, где мы можем ограничить домен и кодомен f бисекцией.
Графики обратных функций симметричны относительно линии y=x. (См. также Обратные функции).

Пример: Квадратичная функция, определенная на ограниченной области и кодомене [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ определяется f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$

является биекцией. Изображение 6: тонкая желтая кривая.

Пример: Функция квадратного корня, определенная на ограниченной области и кодомене [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ определяется f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}. $f(x)={\sqrt {x}}$

является биекцией, определяемой как обратная функция квадратичной функции: x² . Изображение 6: толстая зеленая кривая.

Пример: Экспоненциальная функция, определенная на области ℝ и ограниченной кодовой области (0,+∞)

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,\,(0,+\infty )} $f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )$ определяется f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1}. $f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1$

является биекцией. Изображение 4: тонкая желтая кривая (a=10).

Пример: Основание логарифмической функции a определено на ограниченной области (0,+∞) и кодомене ℝ.

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\,\mathbf {R} } $f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R}$ определяется f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1} $f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1$

является биекцией, определяемой как обратная функция экспоненциальной функции: a^x . Изображение 4: толстая зеленая кривая (a=10).

Биекция: каждая вертикальная линия (в домене) и каждая горизонтальная линия (в кодомене) пересекают ровно одну точку графа.

1. Биекция. Все наклонные прямые являются биекциями f(x):ℝ→ℝ.

2. Биекция. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.

3. Не является биекцией. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² не является сюръекцией. Это не инъекция.

4. Биекции. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10^x (тонкий желтый) и ее обратная f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log₁₀ x (толстый зеленый).

5. Биекции. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (тонкий желтый) и его обратная f(x)=∛x (толстый зеленый).

6. Биекции. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (тонкий желтый) и его обратная f(x)=√x (толстый зеленый).

Вопросы и ответы

В: Что такое биективная функция?

О: Биективная функция, также известная как биекция, - это математическая функция, которая одновременно является инъекцией и сюръекцией.

В: Что означает, что функция является инъекцией?

О: Инъекция означает, что для любых двух элементов a и a' в области A, если f(a)=f(a'), то a=a'.

В: Что значит, если функция является сюръекцией?

A: Сюръекция означает, что для каждого элемента b в кодомене B существует хотя бы один элемент a в области A такой, что f(a)=b.

В: Что является эквивалентным утверждением для биекции?

A: Эквивалентным утверждением для биекции является то, что для каждого элемента b в кодомене B существует ровно один элемент a в домене A, такой, что f(a)=b.

В: Как по-другому называется биекция?

О: Биекция также известна как "соответствие 1-1" или "соответствие один-к-одному".

В: Кто ввел термины "биекция", "сюръекция" и "инъекция"?

О: Термины "биекция", "сюръекция" и "инъекция" были введены Николя Бурбаки и группой других математиков в 1930-х годах.

В: Что опубликовали Бурбаки и другие математики в 1930-х годах?

A: Бурбаки и другие математики опубликовали ряд книг по современной высшей математике.