Сюръекция

Формально:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} - сюръективная функция, если ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\exists a\in A} такая, что f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Элемент b {\displaystyle b} называется образом элемента a {\displaystyle a}.

• Формальное определение означает: Каждый элемент кодомена B является образом хотя бы одного элемента домена A.

Элемент a {\displaystyle a} называется пред-образом элемента b {\displaystyle b} .

• Формальное определение означает: Каждый элемент кодомена B имеет хотя бы один предобраз в домене A.

Предварительный образ не обязательно должен быть уникальным. На верхнем рисунке оба {X} и {Y} являются предобразами элемента {1}. Важно только, чтобы существовал хотя бы один пред-образ. (См. также: Инъективная функция, Биективная функция)

Элементарные функции

Пусть f(x):ℝ→ℝ - вещественная функция y=f(x) от вещественного аргумента x. (Это означает, что и вход, и выход - числа).

• Графическое значение: Функция f является сюръекцией, если каждая горизонтальная прямая пересекает график f хотя бы в одной точке.
• Аналитический смысл: Функция f является сюръекцией, если для каждого действительного числа y_o можно найти хотя бы одно действительное число x_o такое, что y=f_o(x_o).

Пример: Линейная функция наклонной линии - онто. То есть y=ax+b, где a≠0 - сюръекция. (Это также инъекция и, следовательно, биекция).

Доказательство: Подставьте y_o в функцию и решите для x. Поскольку a≠0, получим x= (y-b_o)/_a. Это означает, что x=_o(y-b_o)/_a является предобразом y_o. Это доказывает, что функция y=ax+b, где a≠0, является сюръекцией. (Поскольку существует ровно один пред-образ, эта функция также является инъекцией).

Практический пример: y= -2x+4. Что является первообразом y=2? Решение: Здесь a= -2, т.е. a≠0 и вопрос заключается в следующем: Для какого x существует y=2? Подставим y=2 в функцию. Получаем x=1, т.е. y(1)=2. Значит, ответ: x=1 является первообразом y=2.

Пример: Кубический многочлен (третьей степени) f(x)=x-3x³ является сюръекцией.

Обсуждение: Кубическое уравнение x-3x-y=0³_o имеет вещественные коэффициенты (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Каждое такое кубическое уравнение имеет хотя бы один вещественный корень. Так как область многочлена ℝ, то это означает, что в этой области существует по крайней мере один пред-образ x_o. То есть, (x₀)³-3x-y=0_0o. Таким образом, функция является сюръекцией. (Однако эта функция не является инъекцией. Например, y=2_o имеет 2 предобраза: x=-1 и x=2. На самом деле, у каждого y, -2≤y≤2 есть по крайней мере 2 предобраза).

Пример: Квадратичная функция f(x) = x² не является сюръекцией. Не существует такого x, что x ²= -1. Область x² - это [0,+∞), то есть множество неотрицательных чисел. (Также эта функция не является инъекцией).

Примечание: Можно превратить несюръективную функцию в сюръективную, ограничив ее кодомен элементами ее диапазона. Например, новая функция f_N(x):ℝ → [0,+∞), где f_N(x) = x², является сюръективной функцией. (Это не то же самое, что ограничение функции, которая ограничивает область!)

Пример: Экспоненциальная функция f(x) = 10^x не является сюръекцией. Область действия функции - 10^x(0,+∞), то есть множество положительных чисел. (Эта функция является инъекцией).

Другие примеры с вещественными функциями

Пример: Логарифмическая функция основания 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, определяемая f(x)=log(x) или y=log₁₀(x), является сюръекцией (и инъекцией). (Это обратная функция 10^x).

• Проекция декартова произведения A × B на один из его факторов является сюръекцией.

Пример: Функция f((x,y)):ℝ²→ℝ, определенная через z=y, является сюръекцией. Ее графиком является плоскость в трехмерном пространстве. Предварительным образом z_o является линия y=z_o в плоскости xy0.

• В 3D-играх трехмерное пространство проецируется на двухмерный экран с помощью сюръекции.

• Функция (математика)
• Инъективная функция
• Биективная функция