Теорема - проверенная идея в математике. Теоремы доказываются с использованием логики и других теорем, которые уже доказаны. Теорема, которую кто-то должен доказать, чтобы доказать другую теорему, называется леммой. Теоремы состоят из двух частей, есть гипотезы и выводы.
Теоремы используют дедукцию, в отличие от теорий, которые являются эмпирическими.
Некоторые теоремы тривиальны, они непосредственно вытекают из предложений. Другие теоремы называются "глубокими", их доказательство длинное и сложное. Иногда такие доказательства затрагивают другие области математики или показывают связи между различными областями. Теорема может быть проста в изложении и в то же время глубока. Прекрасным примером является Последняя теория Фермата, и есть много других примеров простых, но глубоких теорем в теории чисел и комбинированной теории, среди других областей.
Существуют и другие теоремы, для которых доказательство известно, но оно не может быть легко записано. Среди лучших примеров - теорема четырех цветов и гипотеза Кеплера. Обе эти теоремы известны только благодаря их своду к вычислительному поиску, который затем проверяется компьютерной программой. Сначала многие математики не приняли эту форму доказательства, но в последние годы она получила более широкое признание. Математик Дорон Цайльбергер даже зашел настолько далеко, что заявил, что это, возможно, единственные нетривиальные результаты, которые математики когда-либо доказывали. Многие математические теоремы можно свести к более простым вычислениям, включая полиномиальные тождества, тригонометрические тождества и гипергеометрические тождества.
