Ряд Тейлора

Древнегреческий философ Зенон из Элеи впервые выдвинул идею этой серии. Парадокс, получивший название "пародокс Зенона". Он считал, что невозможно сложить бесконечное число величин и получить в результате одно конечное значение.

Другой греческий философ, Аристотель, дал ответ на этот философский вопрос. Однако именно Архимед нашел математическое решение, используя свой метод исчерпания. Он смог доказать, что если что-то разделить на бесконечное число мелких кусочков, то при повторном сложении они все равно составят единое целое. Древнекитайский математик Лю Хуэй доказал то же самое несколько сотен лет спустя.

Самые ранние известные примеры ряда Тейлора - это работа Мадхавы из Сангамаграмы в Индии в 1300-х годах. Позднее индийские математики писали о его работе с тригонометрическими функциями синуса, косинуса, тангенса и арктангенса. Ни один из трудов или записей Мадхавы не сохранился до наших дней. Другие математики основывали свои работы на открытиях Мадхавы и продолжали работать с этими рядами вплоть до 1500-х годов.

Джеймс Грегори, шотландский математик, работал в этой области в 1600-х годах. Грегори изучил ряд Тейлора и опубликовал несколько рядов Маклаурина. В 1715 году Брук Тейлор открыл общий метод применения ряда ко всем функциям. (Все предыдущие исследования показывали, как применять метод только к конкретным функциям). Колин Маклаурин опубликовал частный случай ряда Тейлора в 1700-х годах. Этот ряд, который базируется вокруг нуля, называется рядом Маклаурина.

Ряд Тейлора можно использовать для описания любой функции ƒ(x), которая является гладкой функцией (или, в математических терминах, "бесконечно дифференцируемой"). Функция ƒ может быть вещественной или комплексной. Затем ряд Тейлора используется для описания того, как выглядит функция в окрестности некоторого числа a.

Этот ряд Тейлора, записанный как ряд мощности, имеет вид:

f ( a ) + f ′ ( a ) !1 ( x - a ) + f ″ ( a ) !2 ( x - a ) +2 f ( )3 ( a ) !3 ( x - a ) +3 ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Эта формула также может быть записана в сигма-нотации как:

∑ n = ∞0 f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}}

Здесь n! - факториал от n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) - n-я производная от ƒ в точке a. a {\displaystyle a} - число в области функции. Если ряд Тейлора функции равен этой функции, то функция называется "аналитической функцией".

Серия Маклаурин

Когда a = {\displaystyle0 a=0} , функция называется серией Маклорена. Ряд Маклорена, записанный в виде степенного ряда, имеет вид:

f ( )0 + f ′ ( ) 0!1 x + f ″ ( )0 !2 x +2 f ( )3 ( ) 0!3 x +3 ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Если записать в сигма-нотации, то ряд Маклаурина имеет вид:

∑ n = ∞0 f ( n ) ( ) 0n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}}

Некоторые важные серии Тейлора и Маклаурина следующие.

sin x = ∑ n = ∞0 ( -1 ) n ( n 2+ ) 1! x n 2+ = 1x - x !33 + x !55 - ⋯ для всех x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ для всех }}x\! }

cos x = ∑ n = ∞0 ( -1 ) n ( n 2) ! x n 2= 1- x !22 + x !44 - ⋯ для всех x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ для всех }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = ∞0 1( n 2+ ) 1! x n 2+ для 1всех x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ для всех }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = ∞01 ( n2 ) ! x n2 для всех x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ для всех }}x\! }

e x = ∑ n = ∞01 n ! x n = + 1x + !12 x + 2!13 x +3 ⋯ для всех x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ для всех }}x\! }

11 -  x = ∑ n = ∞0 x n = +1 x + x +2 x + 3x +4 ⋯ для всех | x | < 1{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ для всех }}|x|<1}

ln ( +1 x ) = ∑ n = ∞1 ( -1 ) n + n 1x n для всех | x | < 1{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ для всех }}|x|<1}.

tan x = ∑ n = ∞1 B n 2( -4 ) n (1 - 4n ) ( n2 ) ! x n 2-1 = x + x + 33x2 +515 ⋯ для | x | < π {\displaystyle2 \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\! }

Где B n {\displaystyle B_{n}} - n-ое число Бернулли, а ln {\displaystyle \ln } - натуральный логарифм.