Интеграл

Антидепрессант

Согласно фундаментальной теореме исчисления, интеграл является антипроизводным.

Если мы возьмем функцию 2 x {\displaystyle 2x} например, и антидифференцировать его, можно сказать, что интеграл 2 x {\displaystyle 2x} - это x 2 {\displaystyle x^{2}} . Мы говорим интеграл, а не интеграл, потому что антипроизводственная функция не уникальна. Например, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} также различается до 2 x {\displaystyle 2x} . Поэтому при принятии антипроизводного необходимо добавлять константу C. Это называется неопределенным интегралом. Это связано с тем, что при нахождении производной функции, константы равны 0, как и в функции

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15,} .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0,} . Обратите внимание на 0: мы не сможем его найти, если у нас есть только производная, поэтому интеграл - это

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9),dx=5x^{2}+9x+C} .

Простые уравнения

Простое уравнение типа y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} может быть интегрировано относительно x с помощью следующей техники. Для интеграции вы добавляете 1 к силе x, а затем делите x на значение этой новой силы. Поэтому интегрирование нормального уравнения следует этому правилу: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{,}^{,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}+C}.

d x {\displaystyle dx} в конце - это то, что показывает, что мы интегрируем по отношению к x, т.е. как меняется x. Это можно рассматривать как обратную сторону дифференциации. Однако при интеграции добавляется константа C. Это называется константой интеграции. Это необходимо, потому что при дифференциации целого числа получается ноль, поэтому при интегрировании ноль (которую можно поставить в конец любого подынтегранного числа) получается целое число, C. Значение этого целого будет найдено с помощью заданных условий.

Уравнения, содержащие более одного термина, просто интегрируются путем объединения каждого отдельного термина:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{,}^{,}x^{2}+3x-2dx=\int _{,}^{,}x^{2}dx+\int _{,}^{,}3xdx-\int _{,}^{,}2dx={\frac {x^{3}}{3}+{\frac {3x^{2}}{2}-2x+C}

Интеграция с использованием e и ln

Существуют определенные правила для интеграции с использованием e и натурального логарифма. Самое главное, e x {\displaystyle e^{x}} является интегралом самого себя (с добавлением константы интеграции): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{,}^{,}^{x}dx=e^{x}+C}

Естественный логарифм ln полезен при интегрировании уравнений с 1 / x {\displaystyle 1/x} . Они не могут быть интегрированы по формуле, приведенной выше (прибавить единицу к мощности, разделить на мощность), потому что прибавление единицы к мощности производит 0, а деление на 0 невозможно. Вместо этого интеграл 1 / х {\displaystyle 1/x} - это ln x {\displaystyle \ln x} : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{,}^{,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}.

В более общей форме: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{,}^{,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C}

На двух вертикальных барах указано абсолютное значение; знак (положительный или отрицательный) f ( x ) {\displaystyle f(x)} игнорируется. Это связано с тем, что для естественного логарифма отрицательных чисел нет значения.

Сумма функций

Интеграл суммы функций является суммой интеграла каждой функции, то есть,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)],dx=\int \limits _{a}^{b}f(x),dx+\int \limits _{a}^{b}g(x),dx} .

Доказательства этого просты: Определение интеграла - это предел сумм. Таким образом,

∫ a b [ f( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ )) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)],dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)}

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x),dx+\int \limits _{a}^{b}g(x),dx}

Обратите внимание, что оба интеграла имеют одинаковые границы.

Константы в интеграции

Когда константа находится в интеграле с функцией, константа может быть выведена. Далее, когда константа c не сопровождается функцией, ее значение равно c * x. То есть,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x),dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x),dx} and

Это можно сделать только с помощью константы.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c,dx=c(b-a)}

Доказательство снова по определению интеграла.

Другое

Если a, b и c расположены в порядке (т.е. друг за другом по оси x), то интеграл f(x) из точки a в точку b плюс интеграл f(x) из точки b в точку c равен интегралу из точки a в точку c. То есть,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x),dx+\int \limits _{b}^{c}f(x),dx=\int \limits _{a}^{c}f(x),dx} если они в порядке. (Это также происходит, когда a, b, c не в порядке, если мы определяем ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x),dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x),dx} .) .)

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x),dx=0} . Это следует за фундаментальной теоремой вычисления (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x),dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x),dx} Опять же, следуя за ФТК: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]}