Первообразная

Для интеграции x n {\displaystyle ax^{n}}

• Добавьте 1 к мощности n {\displaystyle n} так что x n {\displaystyle ax^{n}} теперь x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}}
• Разделите все это на новую власть, так что теперь это x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}
• Добавьте константу c {\displaystyle c} , теперь это x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}+c}

Это может быть показано как:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n} dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}+c}

Когда существует много терминов x {\displaystyle x}, интегрируйте каждую часть по отдельности:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4} dx={\frac {2x^{7}}{7}-{\frac {5x^{5}}{5}+c={\frac {2}{7}x^{7}-x^{5}+c)

(Это работает только в том случае, если детали добавляются или убираются).

Примеры

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4} dx={\frac {3x^{5}}{5}+c}

∫ x + х 2 + х 3 + х 4 d x = х 2 + х 3 3 + х 4 4 + х 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4} dx={\frac {x^{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}} dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Превращение дроби и корней в силы облегчает задачу:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}} dx=\int x^{-3} dx={\frac {x^{-2}}{-2}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}} dx=\int x^{\frac {3}{2} dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}{\frac {5}{2}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}+c}{\sqrt {x^{5}}+c}

Если вы хотите интегрировать кронштейн как ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} мы должны сделать это по-другому. Это называется правилом цепи. Это как простая интеграция. Оно работает только в том случае, если x {\displaystyle x} в скобке имеет силу 1 (оно линейное), как x {\displaystyle x} или 5 x {\displaystyle 5x}. (не x 5 {\displaystyle x^{5}} или x - 7 {\displaystyle x^{-7}} ).

Сделать ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3} dx}

• Добавьте 1 к мощности 3 {\displaystyle 3} , так что теперь ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4) ^{4}}
• Разделите все это на новую силу, чтобы получить ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}}
• Разделите все это на производную скобки ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} получить ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}(2x+4)^{4}}
• Добавьте константу c {\displaystyle c}, чтобы дать 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {\frac}{1}{8}(2x+4)^{4}+c}

Примеры

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int \int (x+1)^{5} dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}} dx=\int (7x+12)^{-9} dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

• Математика
• Интеграл