Теорема Пифагора

Одно из доказательств пифагорейской теоремы было найдено греческим математиком Эудоксом из Книда.

Доказательство использует три леммы:

1. Треугольники с одинаковым основанием и высотой имеют одинаковую площадь.
2. Треугольник, имеющий такую же базу и такую же высоту, как и сторона квадрата, имеет такую же площадь, как и половина квадрата.
3. Треугольники с двумя совпадающими сторонами и одним совпадающим углом совпадают и имеют одинаковую площадь.

Доказательство в том:

1. Голубой треугольник имеет такую же площадь, как и зеленый, потому что имеет такую же базу и высоту (лемма 1).
2. Зелёный и красный треугольники имеют две стороны, равные сторонам одних и тех же квадратов, и угол, равный прямому углу (угол 90 градусов) плюс угол треугольника, поэтому они совпадают и имеют одинаковую площадь (лемма 3).
3. Области красного и желтого треугольников равны, так как они имеют одинаковую высоту и основания (лемма 1).
4. Площадь синего треугольника равна площади желтого треугольника, потому что

A b l u e = A g r e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}

1. Коричневые треугольники имеют одинаковую площадь по тем же причинам.
2. Синий и коричневый цвета имеют по половине площади меньшего квадрата. Сумма их площадей равна половине площади большего квадрата. Поэтому половинки площадей маленьких квадратов равны половине площади большего квадрата, поэтому их площадь равна площади большего квадрата.

Доказательство с использованием похожих треугольников

Мы можем получить еще одно доказательство пифагорейской теоремы, используя аналогичные треугольники.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}{c}}\quad (1)}

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

Из изображения мы знаем, что c = d + e {\displaystyle c=d +e,! } . И заменив уравнения (1) и (2):

c = a 2 c + b 2 c {\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}{c}}

Умножая на С:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2},!... }

Пифагорейские тройки или тройки - это три целых числа, которые соответствуют уравнению a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} .

Хорошо известен треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Если a=3 и b=4, то 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} потому что 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} . Это также может быть показано как 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5.}

Треугольник три-четыре-пять работает для всех кратных 3, 4 и 5. Другими словами, такие числа как 6, 8, 10 или 30, 40 и 50 также являются пифагорейскими тройками. Другим примером тройки является треугольник 12-5-13, поскольку 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}=13} .

Пифагорейская тройка, которая не является кратной другим тройкам, называется примитивной пифагорейской тройкой. Любую примитивную пифагорейскую тройку можно найти с помощью выражения ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})). но должны быть выполнены следующие условия. Они накладывают ограничения на значения m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} .

1. m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} - это целые положительные числа.
2. m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} не имеют общих факторов, кроме как 1
3. m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} имеют противоположную четность. m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} имеют противоположную четность, когда m {\displaystyle m} чётная и n {\displaystyle n} нечётная, или m {\displaystyle m} нечётная и n {\displaystyle n} чётная.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Если все четыре условия выполнены, то значения m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} создают примитивную пифагорейскую тройку.

m = 2 {\displaystyle m=2} и n = 1 {\displaystyle n=1} создаем примитивную пифагорейскую тройку. Значения удовлетворяют всем четырем условиям. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4}. m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} и m 2 + n 2 = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} так что тройка ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} создана.