Конгруэнтность

Автор: Leandro Alegsa Дата создания: 18 января 2022 г.

В геометрии две фигуры или объекта конгруэнтны, если они имеют одинаковую форму и размер. Также если одна из них имеет ту же форму и размер, что и зеркальное отражение другой.

Более формально, два набора точек называются конгруэнтными тогда и только тогда, когда один из них может быть преобразован в другой с помощью изометрии. Для изометрии используются жесткие движения.

Это означает, что один объект можно переместить и отразить (но не изменить его размер) так, чтобы он точно совпал с другим объектом. Так, две разные плоские фигуры на листе бумаги конгруэнтны, если мы можем их вырезать и затем полностью совместить. Переворачивать бумагу разрешается.

Конгруэнтные многоугольники - это многоугольники, которые если сложить обычный многоугольник пополам, то получится конгруэнтный многоугольник.

Две геометрические фигуры конгруэнтны, если одну из них можно переместить или повернуть так, чтобы она точно поместилась на место другой. Если один из объектов должен изменить свой размер, два объекта не являются конгруэнтными: их просто называют похожими.

Если две фигуры или объекта конгруэнтны, они имеют одинаковую форму и размер; но их можно повернуть, переместить, зеркально отобразить (отразить) или перевести так, чтобы одна точно соответствовала другой.

Пример конгруэнтности. Два треугольника слева конгруэнтны, а третий подобен им. Последний треугольник не похож и не конгруэнтен ни одному из остальных. Обратите внимание, что конгруэнтность позволяет изменять некоторые свойства, такие как расположение и ориентация, но оставляет неизменными другие, такие как расстояние и углы. Неизменные свойства называются инвариантами.

Примеры

все квадраты с одинаковой длиной сторон конгруэнтны.
все равносторонние треугольники с одинаковой длиной сторон конгруэнтны.

Тесты на конгруэнтность

Два угла и сторона между ними одинаковы у двух треугольников (конгруэнтность ASA)
Два угла и сторона, не находящаяся между ними, одинаковы у обоих треугольников (конгруэнтность AAS)
Все три стороны обоих треугольников одинаковы (конгруэнтность SSS)
две стороны и угол между ними делают два треугольника конгруэнтными (конгруэнтность SAS)

Как мы можем получить новые конгруэнтные фигуры?

У нас есть достаточно много возможностей, несколько правил, чтобы сделать новые фигуры конгруэнтными исходным.

Если мы сдвинем геометрическую фигуру в плоскости, то получим фигуру, конгруэнтную исходной.
Если мы вращаем, а не сдвигаем, то также получаем фигуру, конгруэнтную исходной.
Даже если мы возьмем зеркальное отражение исходной формы, то все равно получим конгруэнтную форму.
Если мы объединим эти три действия одно за другим, то все равно получим конгруэнтные фигуры.
Больше конгруэнтных фигур не существует. Более точно, это означает, что если фигура конгруэнтна исходной, то ее можно достичь тремя действиями, описанными выше.

Отношение, что фигура конгруэнтна другой фигуре, имеет три известных свойства.

Если оставить исходную форму на прежнем месте, то она будет конгруэнтна самой себе. Это поведение, это свойство называется рефлексивностью.

Например, если вышеуказанный сдвиг не является правильным сдвигом, а только сдвигом, делающим движение длиной ноль. Или, аналогично, если вышеуказанный поворот не является правильным поворотом, а только поворотом на угол ноль.

Если фигура конгруэнтна другой фигуре, то эта другая фигура также конгруэнтна исходной. Такое поведение, такое свойство называется симметрией.

Например, если мы сдвинем назад, или повернем назад, или зеркально отразим новую форму по отношению к исходной, то исходная форма будет конгруэнтна новой.

Если форма C конгруэнтна форме B, а форма B конгруэнтна исходной форме A, то форма C также конгруэнтна исходной форме A. Такое поведение, такое свойство называется транзитивностью.

Например, если мы применим сначала сдвиг, а затем поворот, то полученная новая форма все равно будет конгруэнтна исходной.

Известные три свойства, рефлексивность, симметрия и транзитивность, вместе составляют понятие эквивалентности. Следовательно, свойство конгруэнтности является одним из видов отношения эквивалентности между фигурами плоскости.

Вопросы и ответы

В: Что означает конгруэнтность двух фигур в геометрии?

О: Две фигуры конгруэнтны в геометрии, если они имеют одинаковую форму и размер, или если одна из них имеет ту же форму и размер, что и зеркальное отражение другой.

В: Как два набора точек называются конгруэнтными?

О: Два набора точек называются конгруэнтными тогда и только тогда, когда один из них может быть преобразован в другой с помощью изометрии.

В: Для чего в изометрии используются жесткие движения?

О: Жесткие движения используются в изометрии для изменения положения, поворота или отражения геометрических фигур без изменения их размера, чтобы они точно совпадали с другими объектами.

В: Могут ли две фигуры быть конгруэнтными, если одна из них должна изменить свой размер, чтобы совпасть с другой?

О: Нет, если один из объектов должен изменить свой размер, чтобы совпасть с другим, то эти два объекта не являются конгруэнтными, но называются похожими.

В: Что можно сказать о конгруэнтности двух разных плоских фигур на листе бумаги?

О: Две разные плоские фигуры на листе бумаги являются конгруэнтными, если мы можем их вырезать и затем полностью совместить, при необходимости перевернув бумагу.

В: Что такое конгруэнтные многоугольники?

О: Конгруэнтные многоугольники - это многоугольники, которые можно сложить пополам и получить другой правильный многоугольник, который также является конгруэнтным.

В: Что является критерием для того, чтобы два объекта назывались конгруэнтными в геометрии?

О: Критерием того, что два объекта могут называться конгруэнтными в геометрии, является то, что один объект можно переместить, повернуть или отразить так, чтобы он точно совпадал с другим объектом без изменения его размера.