Деление на ноль

В алгебраическом аргументе можно замаскировать особый случай деления на ноль. Это может привести к недействительным доказательствам, таким как 1=2, как показано ниже:

Со следующими допущениями:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0_COPY11\times 2&=0.\end{aligned}}}

Следующее должно быть правдой:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.,}

Деление на ноль дает:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.}

Упрости:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.,}

Ошибкой является предположение, что деление на 0 является легитимной операцией с 0/0 = 1.

Большинство людей, вероятно, сочтут приведенное выше "доказательство" неверным, но этот же аргумент может быть представлен таким образом, что будет сложнее обнаружить ошибку. Например, если 1 записано как x, то 0 может быть скрыто за x-x и 2 за x+x. Вышеупомянутое доказательство может быть представлено следующим образом:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}}

поэтому:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).,}

Деление на х - х дает:

x = x + x {\displaystyle x=x+x,}

и деление на х дает:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.,}

Вышеуказанное "доказательство" некорректно, потому что при делении на x-x оно делится на ноль, потому что любое число минус само по себе равно нулю.

При исчислении вышеуказанные "неопределенные формы" также возникают в результате прямой замены при оценке лимитов.

Если компьютерная программа пытается разделить целое число на ноль, операционная система обычно обнаруживает это и останавливает программу. Обычно она распечатывает "сообщение об ошибке" или дает программисту совет, как улучшить программу^[]. Деление на ноль - распространенная ошибка в компьютерном программировании. Деление чисел с плавающей точкой (в десятичных числах) на ноль обычно приводит к получению либо бесконечного, либо специального NaN (не числа) значения, в зависимости от того, что делится на ноль.

В геометрии 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}=\infty . } Эта бесконечность (проективная бесконечность) не является ни положительным, ни отрицательным числом, так же как и ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.