Распределительное свойство

Автор: Leandro Alegsa Дата создания: 5 апреля 2022 г.

Распределение - это понятие из алгебры: оно указывает, как должны выполняться бинарные операции. Наиболее простой случай - сложение и умножение чисел. Например, в арифметике:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), но 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

В левой части первого уравнения цифра 2 умножает сумму 1 и 3, а в правой части - 1 и 3 по отдельности, после чего производится сложение. Поскольку они дают один и тот же конечный ответ (8), говорят, что умножение на 2 распределяется между сложением 1 и 3. Поскольку вместо 2, 1 и 3 можно было бы подставить любые действительные числа, и все равно получилось бы верное уравнение, мы говорим, что умножение действительных чисел превосходит сложение действительных чисел.

Определение

Учитывая множество $S$ и два бинарных оператора ∗ и + на $S$ , мы говорим, что операция:

∗ является левораспределительным над +, если при любых элементах $x, y$ и $z$ из $S,$

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ является правораспределительным над +, если при любых элементах $x, y$ и $z$ из $S,$

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ и

∗ является дистрибутивным над +, если он является лево- и право-распределительным. Обратите внимание, что когда ∗ коммутативно, три вышеприведенных условия логически эквивалентны.

Приложения

Распределительное свойство также может быть применено к:

Вещественные числа
Комплексные числа
Матрицы (применяются специальные правила)
Векторы (применяются специальные правила)
Устанавливает
Пропозициональная логика

Вопросы и ответы

В: Что такое распределение в алгебре?

О: Распределение - это понятие в алгебре, которое описывает, как выполняются бинарные операции, такие как сложение и умножение.

В: Можете ли Вы привести пример распределения в арифметике?

О: Да, примером распределения в арифметике является 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), где в левой части 2 умножает сумму 1 и 3, а в правой части 2 умножает 1 и 3 по отдельности с последующим сложением произведений.

В: Почему концепция распределения важна в алгебре?

О: Концепция распределения важна в алгебре, поскольку она помогает упростить уравнения и облегчить их решение.

В: Распространяется ли умножение на сложение всех действительных чисел?

О: Да, умножение вещественных чисел распространяется на сложение вещественных чисел, это означает, что можно подставить любые вещественные числа вместо значений в уравнение, используемое для примера распределения в арифметике, и все равно получить верное уравнение.

В: Является ли сложение распределительным по отношению к умножению во всех случаях?

О: Нет, сложение не является распределительным по отношению к умножению во всех случаях; это верно только для определенных наборов чисел, таких как действительные числа.

В: Можете ли Вы привести пример, в котором дистрибутивность не соответствует действительности?

О: Да, контрпримером, в котором распределение не выполняется, является пример 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). В этом случае уравнение в левой части не равно уравнению в правой части, потому что деление не распределяется на сложение.

В: Как распределение применяется к бинарным операциям?

О: Распределение в алгебре применяется именно к бинарным операциям, таким как сложение и умножение, где оно описывает, как должны выполняться операции, когда в них участвует более одного операнда.