В математике алгебраическое уравнение, также называемое полиномиальным уравнением над заданным полем, представляет собой уравнение формы
P = Q {\displaystyle P=Q} 
где P и Q являются многочленами над этим полем и имеют одну (одномерную) или несколько (многомерную) переменных. Например:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}={\frac {x^{3}}{3}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}} 
это алгебраическое уравнение над рациональными числами.
Два уравнения называются эквивалентными, если они имеют один и тот же набор решений. Это означает, что все решения второго уравнения должны быть также решениями первого и наоборот. Уравнение P = Q {\displaystyle P=Q} эквивалентно P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Таким образом, изучение алгебраических уравнений эквивалентно изучению многочленов.
Если алгебраическое уравнение находится над нормированными значениями, оно всегда может быть преобразовано в эквивалентное, где все коэффициенты являются целыми числами. Например, в приведенном выше уравнении мы умножаем на 42 = 2-3-7 и группируем члены в первый член. Уравнение преобразуется в
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Решения уравнения - это значения переменных, для которых уравнение верно. Но для алгебраических уравнений есть и корни. При решении уравнения нужно сказать, в каком наборе разрешены решения. Например, для уравнения над нормированными значениями можно найти решения в целых числах. Тогда уравнение является диофантийским уравнением. Можно также искать решения в области комплексных чисел. Можно также искать решения в вещественных числах.
Древние математики хотели решения одномерных уравнений (то есть уравнений с одной переменной) в виде радикальных выражений типа x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}
для положительного решения x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
. Древние египтяне знали, как таким образом решать уравнения степени 2 (т.е. уравнения, в которых наибольшая мощность переменной равна 2). В эпоху Возрождения Джероламо Кардано решал уравнение степени 3, а Лодовико Феррари - уравнение степени 4. Наконец, Нильс Хенрик Абель в 1824 году доказал, что уравнение степени 5 и уравнения более высокой степени не всегда могут быть решены с помощью радикалов. Теория Галуа, названная в честь Эвариста Галуа, была введена для того, чтобы дать критерии, решающие, может ли уравнение быть решено с помощью радикалов.