Производство комбинированного газового закона с использованием только элементарной алгебры может содержать сюрпризы. Например, начиная с трех эмпирических законов.
P = k V T {\displaystyle P=k_{V},T,! } 
(1) Закон Гея-Луссака, объем предположительно постоянен.
V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T,! } 
(2) Закон Чарльза, давление предполагается постоянным.
P V = k T {\displaystyle PV=k_{T},! } 
(3) Закон Бойла, температура предполагается постоянной.
где кВ, кП и кТ - константы, можно умножить три вместе, чтобы получить
P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T},! } 
Взятие квадратного корня с обеих сторон и деление на T приводит к желаемому результату
P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}},! } 
Однако, если перед применением вышеописанной процедуры просто переставить условия в законе Бойля, kT = PV, то после отмены и переупорядочивания, получаем
k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}=T^{2},! } 
что не очень полезно, если не вводит в заблуждение.
Физическое производное, более длительное, но более надежное, начинается с осознания того, что постоянный параметр объема в законе Гей-Луссака будет меняться по мере изменения объема системы. При постоянном объеме V1 закон может появиться P = k1T, а при постоянном объеме V2 - P = k2T. Обозначив этот "переменный постоянный объем" кВ(V), перезапишите закон как
P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V),T,! } 
(4)
То же самое соображение относится к константе в законе Чарльза, которая может быть переписана
V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P),T,! } 
(5)
При поиске kV(V) не следует бездумно исключать T между (4) и (5), поскольку P изменяется в первом случае, в то время как во втором он считается постоянным. Скорее, сначала следует определить, в каком смысле эти уравнения совместимы друг с другом. Чтобы понять это, напомним, что любые две переменные определяют третью. Выбирая P и V как независимые, мы представляем себе T значений, образующих поверхность над PV-плоскостью. Определенные V0 и P0 определяют T0, точку на этой поверхности. Подставляя эти значения в (4) и (5), и перестраивая урожайность
T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}} 
Поскольку оба эти выражения описывают то, что происходит в одной и той же точке на поверхности, два числовых выражения могут быть уравнены и переупорядочены
k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0}}}{k_{P}(P_{0})}={\frac {P_{0}}{V_{0}},! } 
(6)
Обратите внимание, что 1/kV(V0) и 1/kP(P0) - это наклоны ортогональных линий, параллельных оси P/V и проходящих через эту точку на поверхности над плоскостью PV. Соотношение наклонов этих двух прямых зависит только от значения P0/V0 в этой точке.
Обратите внимание, что функциональная форма (6) не зависела от выбранной точки. Та же самая формула возникла бы для любой другой комбинации значений P и V. Поэтому можно написать
k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}={\frac {P}{V}\quad \forall P,\forall V} 
(7)
Это говорит о том, что каждая точка поверхности имеет свою пару ортогональных прямых, проходящих через неё, с отношением их наклона, зависящим только от этой точки. В то время как (6) - это отношение между конкретными наклонами и переменными величинами, (7) - это отношение между функциями наклона и переменными функции. Она верна для любой точки поверхности, т.е. для любых комбинаций значений P и V. Чтобы решить это уравнение для функции kV(V), сначала отделите переменные V слева и P справа.
V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V,k_{V}(V)=P,k_{P}(P)} 
Выберите любое давление P1. Правая сторона вычислит произвольное значение, назовем его karb.
V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V,k_{V}(V)=k_{\text{arb}},! } 
(8)
Это конкретное уравнение теперь должно быть верно не только для одного значения V, но и для всех значений V. Единственное определение kV(V), гарантирующее это для всех V и произвольных karb, - это
k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}} 
(9)
что может быть подтверждено заменой в (8).
Наконец, замена (9) в законе Гей-Луссака (4) и переупорядочивание приводит к появлению комбинированного закона о газе
P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}},! } 
Обратите внимание, что хотя закон Бойла не использовался в этом производном, он легко выведен из результата. Как правило, любые два из трех стартовых законов - это все, что необходимо в данном виде деривации - все стартовые пары приводят к одному и тому же комбинированному газовому закону.
