Метод Гаусса

Автор: Leandro Alegsa Дата создания: 18 января 2021 г.

В математике гауссовское устранение (также называемое редукцией строк) является методом, используемым для решения систем линейных уравнений. Он назван в честь Карла Фридриха Гаусса, известного немецкого математика, который писал об этом методе, но не изобрел его.

Для проведения гауссовского элиминирования коэффициенты термов в системе линейных уравнений используются для создания типа матрицы, называемой расширенной матрицей. Затем для упрощения матрицы используются элементарные операции с строками. Используются три типа рядных операций:

Тип 1: Переключение одного ряда с другим.

Тип 2: Умножение строки на ненулевое число.

Тип 3: Добавление или вычитание строки из другой строки.

Цель гауссовской элиминации - получить матрицу в виде рядового эшелона. Если матрица находится в форме строк-вехарей, то это означает, что чтение слева направо, каждая строка будет начинаться как минимум с одного нулевого члена больше, чем строка над ней. Некоторые определения гауссовского исключения говорят о том, что результат матрицы должен быть в уменьшенной строчно-вещественной форме. Это означает, что матрица находится в форме ряд-вехэлон и единственный ненулевой член в каждой строке - 1. Гауссовское устранение, которое создает уменьшенный результат матрицы ряд-вехэлон, иногда называют гауссовско-иорданским устранением.

Пример

Предположим, цель состоит в том, чтобы найти ответы на эту систему линейных уравнений.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+;&&y&;-;&&z&;=;&&z&;=;&&8&\qquad (R_{1})-3x&&;-;&&y&&;+;&&2z&&;=;&&-11&\qquad (R_{2})-2x&&;+;&&y&&;+;&&2z&&;=;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Во-первых, систему нужно превратить в расширенную матрицу. В расширенной матрице каждое линейное уравнение становится строкой. С одной стороны дополненной матрицы коэффициенты каждого члена в линейном уравнении становятся числами в матрице. С другой стороны дополненной матрицы находятся постоянные члены, которым равно каждое линейное уравнение. Для данной системы дополненной матрицей является:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8-3&-1&2&-11-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Затем можно выполнять операции с строками на расширенной матрице для ее упрощения. В таблице ниже показан процесс уменьшения строк в системе уравнений и на расширенной матрице.

Система уравнений	Рядовые операции	Дополненная матрица
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+;&&y&;-;&&z&;=;&&z&;=;&&8 &...-3x&&;-;&&y&&;+;&&2z&& ;=;&&-11&-2x&&;+;&&y&&;+;&&2z&&;=;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8-3&-1&2&-11-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+&&y&;-&&;z&&;=;&&8&&&&&{\frac {1}{2}}y&&;+&&;{\frac {1}{2}}z&&;=;&&1& 2y&&;+&&;z&&;=;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2} R_{1}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8_COPY11&1/2&1/2&1_COPY11&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+&&y;&&-&;z;&&=;&&8&&&&&.{\frac {1}{2}}y;&&+&&;{\frac {1}{2}}z;&&=;&&1&&&&&&&&&;-z;& &;=;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8_COPY11&1/2&1/2&1_COPY11&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Матрица теперь в форме ряда эшелонов. Это также называется треугольной формой.

Система уравнений	Рядовые операции	Дополненная матрица
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+&&y;&&&&;;&&=;&&7&&&&.&{\frac {1}{2}}y;&&&&;;&&=;&&3/2&&&&&&&&&;-z;&&;=;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}R_{3}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7_COPY11&1/2&0&3/2_COPY11&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&;+&&y;&&&&;;&&=;&&7&&&&.&y;&&&&;;&&=;&&3&&&&&&&&&;z;&&;=;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7_COPY11&1&0&3_COPY11&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&;&&;&&&&;;&&=;&&=;&&2&&&&&. y;&&&&;;&&=;&&3&&&&&&&&&;z;&&;=;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}} R_{1}\rightarrow R_{1}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2_COPY11&1&0&3_COPY11&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Матрица теперь находится в уменьшенной форме рядового эшелона. Чтение этой матрицы говорит о том, что решения для данной системы уравнений возникают при x = 2, y = 3 и z = -1.

Вопросы и ответы

В: Что такое гауссово исключение?

О: Исключение Гаусса - это метод, используемый в математике для решения систем линейных уравнений.

В: В честь кого он назван?

О: Он назван в честь Карла Фридриха Гаусса, известного немецкого математика, который писал об этом методе, но не изобрел его.

В: Как выполняется исключение Гаусса?

О: Гауссово исключение выполняется путем использования коэффициентов членов системы линейных уравнений для создания дополненной матрицы. Затем для упрощения матрицы используются элементарные операции над строками.

В: Какие три типа операций над строками используются в гауссовом исключении?

О: Три типа операций над строками, используемых в гауссовом исключении, следующие: Замена одной строки другой строкой, умножение строки на ненулевое число и сложение или вычитание строки из другой строки.

В: Какова цель гауссовского исключения?

О: Цель гауссовой элиминации - получить матрицу в рядно-целочисленной форме.

В: Что такое ряд-эшелонированная форма?

О: Если матрица имеет форму эшелона рядов, это означает, что если читать слева направо, то каждая строка будет начинаться по крайней мере на один нулевой член больше, чем строка над ней.

В: Что такое сокращенная ряд-эшелонная форма?

О: Уменьшенная ряд-эхелонова форма означает, что матрица находится в ряд-эхелоновой форме и единственным ненулевым членом в каждой строке является 1. Гауссово исключение, которое создает результат уменьшенной ряд-эхелоновой матрицы, иногда называют устранением Гаусса-Жордана.