NHA
17 февраля 1910 года хоккейный клуб "Чикутими" провел неформальный матч с профессиональной командой Национальной хоккейной ассоциации "Монреаль Канадьенс". Играя в более слабой команде, канадцы не забили гол, проиграв игру. Это побудило Джозефа Каттаринича, вратаря "Канадиев", убедить свою команду попробовать свои силы у Жоржа Везины, который был вратарем "Чикутими". Вначале Везина отказался от этого предложения, оставаясь в Чикутими до тех пор, пока канадцы не вернулись в декабре того же года. На этот раз они убедили Жоржа вместе с его братом Пьером приехать в Монреаль. Два брата Везина прибыли 22 декабря 1910 года. В то время как Пьеру не удалось сделать команду, Жорж произвел впечатление на канадцев, особенно с помощью своей палки для блок-шота. Везина был подписан контракт на 800 долларов за сезон, и 31 декабря 1910 года состоялся его профессиональный дебют против оттавских сенаторов. В сезоне 1910-11 он сыграет за канадцев все шестнадцать матчей, завершив восемь побед и восемь поражений, при этом отказавшись от наименьших голов в лиге.
В следующем сезоне "Везина" снова забила наименьшее количество голов в чемпионате и выиграла восемь матчей вместе с десятью поражениями. В сезоне 1912-13 Везина записал свой первый дисквалифицированный матч в карьере, победив 18 января 1913 года команду "Оттава" со счетом 6:0 за одну из девяти побед в сезоне. Впервые канадцы финишировали в НХА в 1913-14 годах, вничью с блузаками Торонто. В очередной раз Везина возглавил лигу с наименьшим количеством забитых мячей, одержав тринадцать побед и семь поражений. По правилам NHA команда, занявшая первое место, должна была сыграть в финале Кубка Стэнли, но из-за ничьей для начала канадцы должны были сыграть двухматчевую, тотальную серию голов в ворота "Торонто". В первом матче Везина закрыла "блушивки", выиграв 2:0 у "Монреаля", но во втором пропустила шесть мячей, позволив "блушикам" сыграть за Кубок Стэнли, который они выиграли.
Проиграв четырнадцать партий и последним в НХА в 1914-15 годах, Везина и канадцы выиграли шестнадцать партий в сезоне 1915-16, и команда оказалась первой в лиге. Как лидеры лиги, канадцы были выбраны для игры в финале Кубка Стэнли 1916 года, где они играли против "Бутонов роз" Портленда, чемпионов соперничающей Хоккейной ассоциации Тихоокеанского побережья. Канадцы победили "Бутоны роз" в трех матчах против двух в лучшей из пяти серий игр, впервые в истории команды выиграв Кубок Стэнли. Второй сын Везины родился в ночь на пятую игру, что в сочетании с бонусом в 238 долларов, полученным каждым членом "Канадцев" за чемпионат, заставило его рассматривать серию как лучшую часть своей карьеры. В следующем сезоне Везина снова возглавил NHA с наименьшим количеством забитых мячей, в четвертый раз за семь лет, что помогло канадцам вновь выйти в финал Кубка Стэнли, где они проиграли "Сиэтл Метрополитенс".
NHL
В ноябре 1917 года НХА была заменена Национальной хоккейной лигой (НХЛ), в которую вошли Везина и канадцы. 18 февраля 1918 года он стал первым голкипером в истории НХЛ, который записал закрытый матч, обыграв "Торонтос" со счетом 9:0. 28 декабря 1918 года он стал первым вратарем, которому помог голкипер Ньюси Лалонд, принявший шайбу после спасения Везины. Он завершил сезон с двенадцатью победами, что позволило ему забить наименьшее количество голов. Везина также установил рекорд, который был поделен с Клинтом Бенедиктом из "Оттавских сенаторов", так как для того, чтобы возглавить лигу в этой категории, требовалось наименьшее количество выбытий, с одним.
В 1918-19 годах Везина выиграла десять матчей и помогла канадцам победить оттавских сенаторов в плей-офф НХЛ за возможность сыграть за Кубок Стэнли против чемпиона PCHA, сиэтл-метрополитанцев. Проведенные в Сиэтле, две команды были равны в лучшей из пяти серий, когда он был отменен из-за эпидемии испанского гриппа, в первый раз Кубок Стэнли не был присужден. В десяти матчах плей-офф, предшествовавших отмене, Везина выиграла шесть партий, проиграла три и сыграла вничью, при этом одна из команд была выбыла из игры. В двух последующих сезонах Везина установила почти одинаковые рекорды: тринадцать побед и одиннадцать поражений, а также гол в среднем выше четырех как в 1919-20, так и в 1920-21 годах. В следующем сезоне он выиграл двенадцать матчей, так как канадцы снова не смогли квалифицироваться на Кубок Стэнли.
После побед в тринадцати матчах 1922-23 годов Везина вывела канадцев в плей-офф НХЛ, где они проиграли два матча, тотальную серию голевых матчей оттавским сенаторам, которые выиграли Кубок Стэнли. В следующем сезоне Везина вернулся к лидерству в лиге, забив всего несколько мячей. Его средний показатель 1,97 гола за игру стал первым случаем, когда вратарь в среднем за матч забил меньше двух мячей. Еще в сезоне 1923-24 годов канадцы, одержав тринадцать побед, вышли в плей-офф НХЛ, где им вновь противостояли "Оттавские сенаторы". На этот раз канадцы выиграли серию, затем победили мароновцев из Ванкувера в составе PCHA, а затем впервые за пять лет вышли в финал Кубка Стэнли. Играя в "Калгари Тигры" Западно-Канадской хоккейной лиги, Везина и "Канадцы" выиграли лучший из трех матчей второй серии без единого шанса, так как во втором матче Везина записала отключение. Чемпионат стал для канадцев первым в составе НХЛ и вторым в составе клуба. После семнадцати победного сезона 1924-25, в котором Везина записала голы в среднем против 1,81, чтобы снова возглавить лигу, канадцы вышли в финал Кубка Стэнли. Канадцы вышли в финал Кубка Стэнли только после того, как чемпионы регулярного сезона "Хэмилтон Тайгерс" были отстранены от игры за отказ играть в плей-офф, если им не заплатили больше. Столкнувшись с "Викторией Кугарс", "Канадцы" проиграли три игры серии в одной.
Вернувшись в Монреаль на сборы сезона 1925-26 годов, Везина заметно заболела, хотя ничего об этом не сказала. К моменту первой игры канадцев 28 ноября против "Питтсбургских пиратов" он потерял 35 фунтов за шесть недель, и у него была лихорадка Фаренгейта 102 года. Тем не менее, он вышел на лед и завершил первый период, не пропустив ни одного гола. В антракте Везина начал блевать кровью, а затем вернулся на начало второго периода. Затем он рухнул в своей зоне ворот и покинул игру, на его месте оказался вратарь бывшей олимпийской сборной США Альфонс Лакруа.
На следующий день после игры Везине поставили диагноз туберкулез и посоветовали вернуться домой. Последний раз он отправился 3 декабря в гримерку Canadiens, чтобы попрощаться с товарищами по команде. Позже Дандуран описал Везину как сидящего в своем углу в гримерной с "слезами, катящимися по щекам". Он смотрел на свои старые подушечки и коньки, которые Эдди Дюфур (тренер Canadiens) устроил в углу Жоржа. Затем он попросил об одной маленькой услуге - свитере, который он носил в последней мировой серии". Везина вернулся в свой родной город Чикутими с женой Мари, где он умер рано утром 27 марта 1926 года в l'Hôtel-Dieu. Несмотря на то, что он играл только один период за канадцев в течение всего сезона, команда выплатила ему всю зарплату в $6,000, показав, насколько важна была роль Везины в команде.