AlegsaOnline.com

Закон больших чисел

Автор: Leandro Alegsa

18-01-2021

Закон больших чисел (LLN) - теорема из статистики. Рассмотрим какой-нибудь процесс, в котором происходят случайные исходы. Например, повторяется случайная переменная. Тогда среднее из наблюдаемых значений будет стабильным в долгосрочной перспективе. Это означает, что в долгосрочной перспективе среднее наблюдаемых значений будет все больше приближаться к ожидаемому значению.

При бросании костей возможны исходы 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Все они одинаково вероятны. Среднее по численности населения (или "ожидаемое значение") результатов:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.

На следующем графике показаны результаты эксперимента с рулонами матрицы. В этом эксперименте видно, что в среднем рулоны штампов варьируется дико сначала. Как предсказывает LLN, среднее стабилизируется вокруг ожидаемого значения 3.5 по мере того, как число наблюдений становится большим.

A demonstration of the Law of Large Numbers using die rolls

История

Джейкоб Бернулли впервые описал LLN. Он сказал, что это было так просто, что даже самый глупый человек инстинктивно знает, что это правда. Несмотря на это, ему потребовалось более 20 лет, чтобы разработать хорошее математическое доказательство. Как только он нашел его, он опубликовал доказательство в Ars Conjectandi (Искусство проектирования) в 1713 году. Он назвал это своей "Золотой теорией". Она стала широко известна как "Теория Бернулли" (не путать с одноименным законом в физике). В 1835 г. С.Д.Пуассон далее описал ее под названием "La loi des grands nombres" ("Закон больших чисел"). После этого он был известен под обоими названиями, но чаще всего используется "Закон больших чисел".

Другие математики также внесли свой вклад в совершенствование закона. Среди них были Чебышев, Марков, Борель, Кантелли, Колмогоров. После этих исследований в настоящее время существуют две различные формы закона: Одна называется "слабым" законом, а другая - "сильным". Эти формы не описывают разные законы. Они имеют различные способы описания сближения наблюдаемой или измеряемой вероятности с фактической вероятностью. Сильная форма закона подразумевает слабую.

Вопросы и ответы

В: Что такое закон больших чисел?

О: Закон больших чисел - это теорема статистики, которая утверждает, что если случайный процесс многократно наблюдается, то среднее значение наблюдаемых величин будет стабильным в долгосрочной перспективе.

В: Что означает закон больших чисел?

О: Закон больших чисел означает, что по мере увеличения числа наблюдений среднее значение наблюдаемых величин будет все ближе и ближе к ожидаемому значению.

В: Что такое ожидаемое значение?

О: Ожидаемое значение - это среднее популяционное значение результатов случайного процесса.

В: Каково ожидаемое значение при бросании кубика?

О: Ожидаемое значение броска кубика - это сумма возможных исходов, деленная на количество исходов: (1+2+3+4+5+6)/6=3.5.

В: Что показывает график в тексте в связи с законом больших чисел?

О: График показывает, что среднее значение бросков кубика сначала сильно варьируется, но, как и предсказывает LLN, среднее значение стабилизируется около ожидаемого значения 3,5 по мере того, как количество наблюдений становится большим.

В: Как закон больших чисел применяется к бросанию игральных костей?

О: Закон больших чисел применим к бросанию игральных костей, потому что по мере увеличения количества бросков среднее значение бросков будет все ближе и ближе к ожидаемому значению 3,5.

В: Почему закон больших чисел важен в статистике?

О: Закон больших чисел важен для статистики, поскольку он обеспечивает теоретическую основу для идеи о том, что данные имеют тенденцию к усреднению при большом количестве наблюдений. Он является основой для многих статистических методов, таких как доверительные интервалы и проверка гипотез.