Квантор

Математика

Это утверждение бесконечно длинное:

1 - 2 = 1 + 1, и 2 - 2 = 2 + 2, и 3 - 2 = 3 + 3, ..., и 100 - 2 = 100 + 100, и ..., и т.д.

Это является проблемой для формальных языков, поскольку формальное высказывание должно быть конечной длины. Этих проблем можно избежать, используя универсальную квантификацию. В результате получается следующее компактное высказывание:

Для каждого натурального числа n, n - 2 = n + n.

Таким же образом можно сократить бесконечную последовательность утверждений, объединенных символом or:

1 равно 5 + 5, или 2 равно 5 + 5, или 3 равно 5 + 5, ... или 100 равно 5 + 5, или ..., и т.д.

который можно переписать, используя экзистенциальную квантификацию:

Для хотя бы одного натурального числа n, n равно 5+5.

Условные обозначения

Наиболее широко используются два квантификатора: универсальный квантификатор и квантификатор существования.

Универсальный квантификатор используется для утверждения, что для элементов множества все элементы соответствуют некоторым критериям. Обычно это утверждение "для всех элементов" сокращается до перевернутой буквы "А", то есть "∀".

Экзистенциальный квантификатор используется для утверждения, что для элементов множества существует хотя бы один элемент, удовлетворяющий некоторым критериям. Обычно это утверждение "существует элемент" сокращается до перевернутой буквы "E", то есть "∃".

Мы можем переписать пример английского высказывания с помощью символов, предикатов, представляющих критерии, и квантификаторов. Пример: "Каждый из друзей Питера либо любит танцевать, либо любит ходить на пляж". Пусть X - множество всех друзей Питера. Пусть P(x) - предикат "x любит танцевать". Пусть Q(x) - предикат "x любит ходить на пляж". Мы можем переписать пример, используя формальные обозначения, как ∀ x ∈ X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)} . Это утверждение можно прочитать как "для каждого x, который является членом X, P применимо к x или Q применимо к x".

Существуют и другие способы использования квантификаторов в формальном языке. Каждое из следующих ниже утверждений говорит то же самое, что и ∃ x ∈ X , P ( x ) {\displaystyle \exists {x}{\in }X,P(x)} :

• ∃ x P {\displaystyle \exists {x}P}
• ( ∃ x ) P {\displaystyle (\exists {x})P}
• ( ∃ x . P ) {\displaystyle (\exists x\ .\ P)}
• ∃ x ⋅ P {\displaystyle \exists x\ \cdot \ P}
• ( ∃ x : P ) {\displaystyle (\exists x:P)}
• ∃ x ∈ X P {\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P}
• ∃ x : X P {\displaystyle \exists \,x{:}X\,P}

Существует еще несколько способов представления универсального квантификатора:

• ( x ) P {\displaystyle (x)\,P}
• ⋀ x P {\displaystyle \bigwedge _{x}P}

Несколько утверждений выше явно включают X, набор элементов, к которым применяется квантификатор. Это множество элементов также известно как диапазон квантификации, или вселенная дискурса. Некоторые из приведенных выше высказываний не содержат такого набора. В этом случае набор необходимо указать перед высказыванием. Например, "x - это яблоко" должно быть указано перед ∃ x P ( x ) {\displaystyle \exists {x}P(x)} . В этом случае мы делаем утверждение, что хотя бы одно яблоко соответствует предикату P.

Формальное использование квантификаторов не требует использования символа x. Символ x использовался во всей этой статье, но можно использовать любой символ, например y. При выборе символов следите за тем, чтобы не обозначать два разных предмета одним и тем же символом.

Вложение

Важно располагать квантификаторы в правильном порядке. Это пример английского предложения, показывающий, как смысл меняется в зависимости от порядка:

Для каждого натурального числа n существует натуральное число s такое, что s = n².

Это утверждение истинно. Оно утверждает, что каждое натуральное число имеет квадрат. Однако, если мы изменим порядок квантификаторов:

Существует натуральное число s, такое, что для каждого натурального числа n, s = n².

Это утверждение ложно. Оно утверждает, что существует одно натуральное число s, которое является квадратом всех натуральных чисел.

В некоторых случаях изменение порядка следования квантификаторов не меняет смысла высказывания. Например:

Существует натуральное число x, и существует натуральное число y такое, что x = y².

Другие квантификаторы

Существуют также менее распространенные кванторы, используемые математиками.

Примером может служить квантификатор решения. Он используется для указания того, какие элементы решают определенное уравнение. Квантор решения обозначается § (знак раздела). Например, следующее утверждение утверждает, что квадраты 0, 1 и 2 меньше 4. : [ § n ∈ N n ≤2 ]4 = { ,0 ,1 }2 {\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\left\{0,1,2\right\}}

Другими квантификаторами являются:

• Существует множество элементов, таких как...
• Есть несколько элементов, которые...
• Существует бесконечно много элементов, таких, что...
• Для всех элементов, кроме конечного числа... (иногда выражается как "для почти всех элементов...").
• Существует бесчисленное множество элементов, таких что...
• Для всех элементов, кроме счетно многих...

История

Терминология была разработана Аристотелем. Это была ранняя форма логики, включавшая квантификацию. Использование квантификации было ближе к использованию в естественном языке. Это означало, что высказывания в терминологической логике с квантификаторами меньше подходили для формального анализа. Терминологическая логика включила квантификаторы "Все", "Некоторые" и "Нет" (ни одного) в 4 веке до нашей эры.

В 1879 году Готтлоб Фреге создал нотацию для универсальной квантификации. В отличие от сегодняшнего дня, он изобразил бы универсальную квантификацию, написав переменную над ямкой на прямой линии. Фреге не создал нотацию для экзистенциальной квантификации. Вместо этого он объединил универсальную квантификацию и ряд отрицаний, чтобы получить эквивалентное утверждение. Использование Фреге квантификации не было широко известно до выхода в 1903 году книги Бертрана Рассела "Принципы математики".

В 1885 году Чарльз Сандерс Пирс и его студент Оскар Говард Митчелл также создали обозначение для универсальных и экзистенциальных квантификаторов. Они написали Π_x и Σ_x там, где мы сейчас пишем ∀x и ∃x. Нотация Пирса использовалась многими математиками вплоть до 1950-х годов.

В 1897 году Уильям Эрнест Джонсон и Джузеппе Пеано создали еще одну нотацию для универсальной и экзистенциальной квантификации. На них повлияла предыдущая нотация квантификации Пирса. Джонсон и Пеано использовали простое (x) для универсальной квантификации и ∃x для экзистенциальной квантификации. Влияние Пеано на математику распространило эту нотацию по всей Европе.

В 1935 году Герхард Гентцен создал символ ∀ для универсальной количественной оценки. Он широко использовался только в 1960-х годах.

Похожие страницы

• Логика