Хотя более сложный способ вычисления метрики Шварцшильда может быть найден с использованием Christoffel Symbols, он также может быть получен с помощью уравнений для скорости выхода ( v e {\displaystyle v_{e}}
), расширения времени (dt'), сокращения длины (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v - скорость частицы
G - гравитационная постоянная
M - масса черной дыры
r - насколько близка частица к тяжелому объекту.
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac}}{v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' является истинным изменением частицы во времени
dt является изменением частицы во времени
dr' является истинным пройденным расстоянием
dr является изменением частицы в расстоянии
v является скорость частицы
c является скорость света
Примечание: истинный временной интервал и истинное расстояние, пройденное частицей, отличаются от времени и расстояния, вычисленных в классических физических расчетах, так как она движется в таком сильном гравитационном поле!
Использование уравнения для плоского пространства-времени в сферических координатах:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 грех 2 ( d θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(4)
ds - путь частицы
θ {\displaystyle \theta }
это угол.
d θ {\displaystyle \theta } и d ϕ {\displaystyle \phi }
- это изменение углов.
Ввод в уравнение для плоского пространства-времени (уравнение 4) уравнений для скорости выхода, замедления времени и сжатия длины (уравнения 1, 2 и 3), чтобы получить метрику Шварцшильда:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 грех 2 ( d θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(d\phi). 
(5)
Из этого уравнения мы можем вычеркнуть радиус Шварцшильда ( r s {\displaystyle r_{s}}
), радиус этой черной дыры. Хотя это наиболее часто используется для описания черной дыры Шварцшильда, радиус Шварцшильда может быть вычислен для любого тяжелого объекта.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 грех 2 ( d θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(d\phi )^{2}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} - это заданный предел радиуса объекта
