Метрика Шварцшильда

Метрика Шварцшильда была вычислена Карлом Шварцшильдом как решение уравнений поля Эйнштейна в 1916 году. Также известное как решение Шварцшильда, это уравнение из общей относительности в области астрофизики. Метрика относится к уравнению, описывающему пространство-время; в частности, метрика Шварцшильда описывает гравитационное поле вокруг черной дыры Шварцшильда - невращающейся сферической черной дыры без магнитного поля, где космологическая константа равна нулю.

По сути, это уравнение описывает, как частица движется в пространстве вблизи черной дыры.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 грех 2 ( d θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(d\phi). $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

Деривация

Хотя более сложный способ вычисления метрики Шварцшильда может быть найден с использованием Christoffel Symbols, он также может быть получен с помощью уравнений для скорости выхода ( v e {\displaystyle v_{e}} $v_{e}$ ), расширения времени (dt'), сокращения длины (dr'):

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v - скорость частицы
G - гравитационная постоянная
M - масса черной дыры
r - насколько близка частица к тяжелому объекту.

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac}}{v^{2}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' является истинным изменением частицы во времени
dt является изменением частицы во времени
dr' является истинным пройденным расстоянием
dr является изменением частицы в расстоянии
v является скорость частицы
c является скорость света

Примечание: истинный временной интервал и истинное расстояние, пройденное частицей, отличаются от времени и расстояния, вычисленных в классических физических расчетах, так как она движется в таком сильном гравитационном поле!

Использование уравнения для плоского пространства-времени в сферических координатах:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 грех 2 ( d θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds - путь частицы

θ {\displaystyle \theta } $\theta$ это угол.
d θ {\displaystyle \theta } $\theta$ и d ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ - это изменение углов.

Ввод в уравнение для плоского пространства-времени (уравнение 4) уравнений для скорости выхода, замедления времени и сжатия длины (уравнения 1, 2 и 3), чтобы получить метрику Шварцшильда:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 грех 2 ( d θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(d\phi). $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

Из этого уравнения мы можем вычеркнуть радиус Шварцшильда ( r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ ), радиус этой черной дыры. Хотя это наиболее часто используется для описания черной дыры Шварцшильда, радиус Шварцшильда может быть вычислен для любого тяжелого объекта.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 грех 2 ( d θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(d\phi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ - это заданный предел радиуса объекта

Вопросы и ответы

В: Что такое метрика Шварцшильда?

О: Метрика Шварцшильда - это уравнение из общей теории относительности в области астрофизики, которое описывает, как частица движется через пространство вблизи черной дыры. Оно было рассчитано Карлом Шварцшильдом как решение полевых уравнений Эйнштейна в 1916 году.

В: К чему относится метрика?

О: Метрика относится к уравнению, которое описывает пространство-время; в частности, метрика Шварцшильда описывает гравитационное поле вокруг черной дыры Шварцшильда.

В: Каковы некоторые характеристики черной дыры Шварцшильда?

О: Черная дыра Шварцшильда является невращающейся, сферической и не имеет магнитного поля. Кроме того, ее космологическая постоянная равна нулю.

В: Как мы можем описать гравитационное поле вокруг черной дыры Шварцшильда?

О: Мы можем описать его с помощью метрического уравнения Шварцшильда, которое описывает, как частицы движутся в пространстве вблизи этого типа черных дыр.

В: Кто впервые рассчитал это уравнение?

О: Карл Шварцшильд впервые рассчитал это уравнение как решение полевых уравнений Эйнштейна в 1916 году.

В: Что означает (ds)^2 в этом уравнении?

О: (ds)^2 представляет собой расстояние между двумя точками в пространстве-времени, измеренное относительно временных и пространственных координат.