Вейвлет-преобразование

Вейвлет-преобразование - это временно-частотное представление сигнала. Например, мы используем его для шумоподавления, выделения признаков или сжатия сигнала.

Вейвлет-преобразование непрерывного сигнала определяется как

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

где

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ так называемый материнский вейвлет,
a {\displaystyle a} обозначает вейвлет-расширение,
b {\displaystyle b} $b$ обозначает временной сдвиг вейвлета и
∗ {\displaystyle *} $*$ символ обозначает сложный спрягаемый.

В случае a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ и b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ где 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ T > 0 {\displaystyle T>0} и m $T>0$ {\displaystyle m} и k {\displaystyle k} являются целочисленными константами, вейвлет-преобразование называется дискретным вейвлет-преобразованием (непрерывного сигнала).

В случае a = 2 м {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ и b = 2 м k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ где m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ дискретное вейвлет-преобразование называется диадическим. Оно определяется как

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m),k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

где

m {\displaystyle m} - это шкала частот,
k {\displaystyle k} это шкала времени и
T {\displaystyle T} $T$ - константа, которая зависит от материнского вейвлета.

Возможно переписать диадическое дискретное вейвлет-преобразование как

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

где h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ - импульсная характеристика непрерывного фильтра, идентичная ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*} ${\psi _{m}}^{*}$ для заданной m {\displaystyle m} .

Аналогично, диадическое вейвлет-преобразование с дискретным временем (дискретного сигнала) определяется как

Непрерывное вейвлет-преобразование сигнала пробоя частоты. Использованная симлетка с 5 исчезающими моментами.

Вопросы и ответы

В: Что такое вейвлет-преобразование?

О: Вейвлет-преобразование - это временно-частотное представление сигнала, используемое для подавления шума, выделения признаков или сжатия сигнала.

В: Как определяется вейвлет-преобразование непрерывных сигналов?

О: Вейвлет-преобразование непрерывных сигналов определяется как интеграл по всем значениям функции, умноженный на материнский вейвлет, где параметры 'a' и 'b' обозначают расширение и временной сдвиг соответственно.

В: Что такое диадические дискретные вейвлет-преобразования?

О: Диадические дискретные вейвлет-преобразования - это дискретные версии обычных дискретных вейвлет-преобразований с частотным масштабом 'm', временным масштабом 'k' и постоянной 'T'. Они могут быть переписаны как интеграл по всем значениям функции, умноженный на фильтр импульсной характеристики, который идентичен материнскому вейвлету для данного m.

В: Что означает "материнский вейвлет" в данном контексте?

О: В данном контексте "материнский вейвлет" относится к функциям, которые используются в сочетании с другими функциями для формирования основы для вычисления определенного типа преобразования (в данном случае, вейвлет-преобразования).

В: Как вычисляются диадические дискретные вейвлеты?

О: Диадические дискретные вейвлеты вычисляются с помощью интеграла по всем значениям функции, умноженного на фильтр импульсной характеристики, который идентичен материнскому вейвлету для данного m. Кроме того, в качестве параметров им требуются частотный масштаб m, временной масштаб k и постоянная T.

В: Что означают 'a' и 'b' при определении непрерывных вейвлетов?

О: При определении непрерывных вейвлетов "a" представляет расширение, а "b" - сдвиг во времени.