Вейвлет

Вейвлет - это математическая функция, используемая для записи функции или сигнала в терминах других функций, которые проще изучать. Многие задачи обработки сигналов можно увидеть с точки зрения вейвлет-преобразования. Говоря неформальным языком, сигнал можно увидеть под линзой с увеличением, заданным шкалой вейвлета. При этом мы можем видеть только ту информацию, которая определяется формой используемого вейвлета.

Английский термин "вейвлет" был введен в начале 1980-х годов французскими физиками Жаном Морле и Алексом Гроссманом. Они использовали французское слово "онделет" (что означает "маленькая волна"). Позже это слово было введено в английский язык путем перевода слова "onde" на "wave", дающего "вейвлет".

Вейвлет является (комплексной) функцией из пространства Гильберта ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Для практического применения она должна удовлетворять следующим условиям.

У него должна быть конечная энергия.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 dt < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi ( t ) |^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Он должен удовлетворять условию приемлемости.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ где ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }} ${\hat {\psi }}$ является преобразованием Фурье ψ {\displaystyle \psi \psi ,} $\psi \,$

Нулевое среднее условие подразумевает от условия приемлемости.

∫ - ∞ ∞ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt = 0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Функция ψ {\displaystyle \psi ,} $\psi \,$ называется материнским вейвлет. Его транслированный (сдвинутый) и расширенный (масштабированный) нормализованный варианты определяются следующим образом.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}\psi \left({{t-b} \over {a}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Оригинальный материнский вейвлет имеет параметры a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ и b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Перевод описывается параметром b {\displaystyle b} $b$ и дилатация параметром {\displaystyle a}.

вейвлет Морлета

Вопросы и ответы

В: Что такое вейвлет?

О: Вейвлет - это математическая функция, используемая для записи функции или сигнала в терминах других функций, более простых для изучения. Ее можно увидеть под линзой с увеличением, заданным масштабом вейвлета, что позволяет нам увидеть только информацию, определяемую ее формой.

В: Кто ввел термин "вейвлет"?

О: Английский термин "wavelet" был введен в начале 1980-х годов французскими физиками Жаном Морле и Алексом Гроссманом, которые использовали французское слово "ondelette" (что означает "маленькая волна"). Позже это слово было перенесено в английский язык путем перевода "onde" в "wave", что дало нам "wavelet".

В: Чему должен удовлетворять вейвлет для практического применения?

О: Для практического применения вейвлет должен иметь конечную энергию и удовлетворять условию допустимости. Это условие приемлемости гласит, что он должен иметь нулевое среднее значение, а также удовлетворять интегралу по частоте, который меньше бесконечности.

В: Что подразумевается под трансляцией и дилатацией, когда речь идет о вейвлетах?

О: Перевод относится к сдвигу или перемещению материнского вейвлета вдоль оси времени, а дилатация относится к масштабированию или растяжению/сжатию материнских вейвлетов вдоль оси времени. Эти два параметра (перевод и дилатация) описываются b и a соответственно.

В: Что значит для вейвлета иметь нулевое среднее значение?

О: Нулевое среднее подразумевает, что при интегрировании по всем значениям t от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности, сумма должна быть равна 0, т.е. ∫-∞∞ψ(t)dt=0. Это требование следует из самого условия допустимости, как было сказано выше.

В: Как определяются материнские вейвлеты?

О: Материнские вейвлеты определяются как нормализованные версии транслированных (сдвинутых) и расширенных (масштабированных) версий исходных материнских вейвлетов, которые имеют параметры 'a' = 1 и 'b' = 0.