преобразование Фурье

Преобразование Фурье - это математическая функция, которая может быть использована для поиска базовых частот, составляющих сигнал или волну. Например, если играет аккорд, звуковая волна аккорда может быть подана на преобразование Фурье, чтобы найти ноты, из которых сделан аккорд. Выходное преобразование Фурье иногда называют частотным спектром или распределением, так как оно отображает спектр частот входного сигнала. Эта функция имеет много применений в криптографии, океанографии, машинном обучении, радиологии, квантовой физике, а также в звуковом проектировании и визуализации.

Фурье-преобразование функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) дается с помощью функции

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx} $F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx$

α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ это частота

F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )} $F(\alpha )$ является функцией преобразования Фурье и возвращает значение, представляющее собой преобладающую частоту α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ в исходном сигнале.

e - 2 π i α x {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}} $e^{-2\pi i\alpha x}$ Представляет собой обертку входной функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) вокруг начала в комплексной плоскости на некоторой частоте α {\displaystyle \alpha }. $\alpha$

Обратное преобразование Фурье дается посредством

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }d\alpha } $f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }d\alpha$

Преобразование Фурье показывает, какие частоты находятся в сигнале. Например, рассмотрим звуковую волну, которая содержит три различные музыкальные ноты: A, B и C. Составляя график преобразования Фурье этой звуковой волны (с частотой по оси x и интенсивностью по оси y), вы увидите пик на каждой частоте, который соответствует одной из музыкальных нот.

Многие сигналы могут быть созданы путем сложения косинусов и синусоидальных сигналов с различными амплитудами и частотами. Фурье преобразовывает графики амплитуд и фаз этих косинусов и синусов против их соответствующих частот.

Трансформации Фурье важны, потому что многие сигналы имеют больший смысл, когда их частоты разделены. В аудио примере выше, глядя на сигнал по отношению к времени не делает очевидным, что ноты A, B, и C находятся в сигнале. Многие системы делают разные вещи на разных частотах, поэтому такие системы могут быть описаны тем, что они делают с каждой частотой. Примером этого является фильтр, который блокирует высокие частоты.

Вычисление преобразования Фурье требует понимания интеграции и мнимых чисел. Компьютеры обычно используются для вычисления преобразования Фурье из чего угодно, но не из простейших сигналов. Быстрое преобразование Фурье - это метод, используемый компьютерами для быстрого вычисления преобразования Фурье.