Центральная предельная теорема
Центральные предельные теоремы - это теоремы теории вероятностей. Они утверждают, что при большом числе независимых случайных величин их сумма будет следовать устойчивому распределению. Если дисперсия случайных величин конечна, то получится гауссовское распределение. Это одна из причин, почему данное распределение также известно как нормальное распределение.
Наиболее известная и важная из них известна как центральная предельная теорема. Она касается большого числа случайных величин с одинаковым распределением, с конечной дисперсией и ожидаемым значением.
Существуют различные обобщения этой теоремы. Некоторые из этих обобщений уже не требуют идентичного распределения всех случайных величин. В этих обобщениях еще одно условие гарантирует, что ни одна случайная величина не влияет на результат больше, чем другие. Примерами являются условия Линдеберга и Ляпунова.
Название теоремы основано на статье Джорджа Полы, написанной в 1920 году, "О центральной предельной теореме в теории вероятностей и проблеме моментов".
Вопросы и ответы
В: Что такое центральная предельная теорема?
О: Центральная предельная теорема (ЦПТ) - это теорема о предельном поведении агрегированных распределений вероятностей. Она утверждает, что при большом количестве независимых случайных величин их сумма будет следовать устойчивому распределению. Если дисперсия случайных величин конечна, то получится гауссовское распределение.
В: Кто написал работу, на которой была основана эта теорема?
О: Джордж Пшля написал работу "О центральной предельной теореме в теории вероятностей и проблеме моментов" в 1920 году, которая послужила основой для этой теоремы.
В: Какой тип распределения получается, когда все случайные величины имеют конечную дисперсию?
О: Когда все случайные величины имеют конечную дисперсию, в результате применения CLT получается гауссовское или нормальное распределение.
В: Существуют ли какие-либо обобщения CLT?
О: Да, существуют различные обобщения CLT, которые больше не требуют идентичного распределения всех случайных величин. Эти обобщения включают условия Линдеберга и Ляпунова, которые гарантируют, что ни одна случайная переменная не влияет на результат больше, чем другие.
В: Как работают эти обобщения?
О: Эти обобщения гарантируют, что ни одна случайная переменная не влияет на результат больше, чем другие, путем введения дополнительных предварительных условий, таких как условия Линдеберга и Ляпунова.
В: Что говорит CLT о выборочном среднем и сумме большого числа независимых случайных величин с одинаковым распределением?
О: Согласно CLT, если n одинаковых и независимо распределенных случайных величин со средним ى {\displaystyle \mu } и стандартным отклонением َ {\displaystyle \sigma } то их выборочное среднее (X1+...+Xn)/n будет приблизительно нормальным со средним ى {\displaystyle \mu } и стандартным отклонением َ/√n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} . Более того, их сумма X1+...+Xn также будет приблизительно нормальной со средним nى {\displaystyle n\mu } и стандартным отклонением √nَ {\displaystyle {\sqrt {n}}\sigma }. .
