Число Ферма

Автор: Leandro Alegsa Дата создания: 18 ноября 2020 г.

Номер Фермата - это специальный положительный номер. Номера Фермата названы в честь Пьера де Фермата. Формула, которая их генерирует.

F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}+1} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

где n - неотрицательное целое число. Первые девять чисел Фермата (последовательность A000215 в OEIS):

F0 = ²¹ + 1 = 3

F1 = ²² + 1 = 5

F2 = ²⁴ + 1 = 17

F3 = ²⁸ + 1 = 257

F4 = 216 + 1 = 65537

F5 = ²³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = ²⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

По состоянию на 2007 г. полностью учтены только первые 12 номеров ферматов. (написано как произведение простых чисел) Эти факторизации можно найти в разделе "Основные факторы ферматных чисел".

Если 2n + 1 является первичным, а n > 0, то можно показать, что n должно быть мощностью два. Каждая простейшая из формы 2n + 1 является номером Фермата, и такие простейшие называются простейшими. Единственными известными грунтами Фермата являются F0,...,F4.

Интересные вещи о ферматных номерах

Никакие два числа Фермата не имеют общих делителей.
Количество ферматов может быть вычислено рекурсивно: Чтобы получить N-е число, умножьте все числа Фермата до него и прибавите два к результату.

Для чего они используются

Сегодня с помощью чисел Фермата можно генерировать случайные числа, от 0 до некоторого значения N, которое составляет мощность 2.

предположение Фермата

Фермат, когда он изучал эти числа, предполагал, что все числа Фермата были первичными. Это было доказано Леонхардом Эйлером, который в 1732 году факторизовал F 5 {\displaystyle F_{5}} $F_{5}$ .

Вопросы и ответы

В: Что такое число Ферма?

О: Число Ферма - это особое положительное число, названное в честь Пьера де Ферма. Оно образуется по формуле F_n = 2^2^(n) + 1, где n - целое неотрицательное число.

В: Сколько существует чисел Ферма?

О: По состоянию на 2007 год только первые 12 чисел Ферма были полностью разложены.

В: Каковы первые девять чисел Ферма?

A: Первые девять чисел Фермата: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), и F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

В: Что можно сказать о простых числах вида 2n + 1?

О: Если 2n + 1 простое и n > 0, то можно показать, что n должно быть степенью двойки. Каждое простое число вида 2n + 1 также является числом Ферма, и такие простые числа называются числами Ферма. Единственные известные простые числа Ферма - от 0 до 4.

В: Где можно найти факторизации для всех 12 известных факторизованных чисел Фермата?

О: Факторизации всех 12 известных факторизованных чисел Фермата можно найти на сайте Prime Factors of Fermat Numbers.

В: Кем был Пьер де Ферма?

О: Пьер де Ферма был влиятельным французским математиком, жившим в 17 веке, чьи работы заложили основу современной математики. Он наиболее известен своим вкладом в теорию вероятностей и аналитическую геометрию, а также своей знаменитой Последней теоремой, которая оставалась нерешенной до 1995 года, когда она была окончательно доказана Эндрю Уайлсом с помощью методов алгебраической геометрии.