Теоремы неполноты Гёделя - это название двух теорем (истинных математических утверждений), доказанных Куртом Гёделем в 1931 году. Они являются теоремами математической логики.
Математики когда-то считали, что все истинное имеет математическое доказательство. Система, обладающая этим свойством, называется полной; система, не обладающая таким свойством, называется неполной. Кроме того, математические идеи не должны иметь противоречий. Это означает, что они не должны быть истинными и ложными одновременно. Система, в которой нет противоречий, называется непротиворечивой. Такие системы основаны на наборах аксиом. Аксиомы - это утверждения, которые принимаются как истинные и не требуют доказательств.
Гёдель сказал, что каждая нетривиальная (интересная) формальная система либо неполна, либо непоследовательна:
- Всегда будут вопросы, на которые нельзя ответить, используя определенный набор аксиом;
- Вы не можете доказать, что система аксиом непротиворечива, если не используете другой набор аксиом.
Эти теоремы важны для математиков, поскольку они доказывают, что невозможно создать набор аксиом, который объясняет все в математике.