Проблемы Гильберта

Проблема

Краткое объяснение

Статус

Год решения

1-й

Гипотеза континуума (то есть, не существует множества, кардинальность которого находится строго между кардинальностью целых и действительных чисел)

Доказано, что теорию множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора или без нее невозможно доказать или опровергнуть (при условии, что теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора или без нее непротиворечива, т.е. не содержит двух теорем, одна из которых является отрицанием другой). Нет единого мнения о том, является ли это решением проблемы.

1963

2-й

Докажите, что аксиомы арифметики непротиворечивы.

Нет единого мнения о том, дают ли результаты Гёделя и Гентцена решение проблемы, сформулированной Гильбертом. Вторая теорема Гёделя о неполноте, доказанная в 1931 году, показывает, что в рамках самой арифметики невозможно доказать ее непротиворечивость. Доказательство непротиворечивости Гентцена (1936) показывает, что непротиворечивость арифметики следует из обоснованности порядкового номера ε₀ .

1936?

3-й

Если даны два многогранника одинакового объема, всегда ли можно разрезать первый на конечное число многогранных частей, из которых можно собрать второй?

Решено. Результат: нет, доказано с помощью инвариантов Дена.

1900

4-й

Постройте все метрики, в которых прямые являются геодезическими.

Слишком расплывчато, чтобы можно было сказать, решена она или нет.

-

5-й

Являются ли непрерывные группы автоматически дифференциальными группами?

Решена Эндрю Глисоном или Хидехико Ямабе, в зависимости от того, как интерпретировать исходное утверждение. Однако если понимать ее как эквивалент гильбертово-смитовской гипотезы, то она остается нерешенной.

1953?

6-й

Аксиоматизировать всю физику

Частично решена.

-

7-й

Является ли a  ^bтрансцендентным для алгебраического a ≠ 0,1 и иррационального алгебраического b?

Решено. Результат: да, иллюстрируется теоремой Гельфонда или теоремой Гельфонда-Шнайдера.

1934

8-й

Гипотеза Римана ("действительная часть любого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна ½") и другие проблемы простых чисел, в том числе гипотеза Гольдбаха и гипотеза о двойном простом числе

Неразрешенное.

-

9-й

Найдите наиболее общий закон теоремы взаимности в любом алгебраическом поле чисел

Частично решена.

-

десятый

Найдите алгоритм, позволяющий определить, имеет ли заданное полиномиальное диофантово уравнение с целыми коэффициентами целочисленное решение.

Решено. Результат: невозможно, из теоремы Матиясевича следует, что такого алгоритма не существует.

1970

11-й

Решение квадратичных форм с алгебраическими числовыми коэффициентами.

Частично решена. ^[]

-

12-й

Распространить теорему Кронекера-Вебера об абелевых расширениях рациональных чисел на любое поле базовых чисел.

Частично решается с помощью теории поля классов, хотя решение не такое явное, как теорема Кронекера-Вебера.

-

13-й

Решение уравнений 7-й степени с помощью непрерывных функций двух параметров.

Не решена. Проблема была частично решена Владимиром Арнольдом на основе работы Андрея Колмогорова.

1957

14-й

Является ли кольцо инвариантов алгебраической группы, действующей на полиномиальном кольце, всегда конечно порожденным?

Решено. Результат: нет, контрпример был построен Масаёси Нагатой.

1959

15-й

Строгое основание энумеративного исчисления Шуберта.

Частично решена. ^[]

-

16-й

Опишите относительные положения овалов, исходящих из реальной алгебраической кривой и являющихся предельными циклами полиномиального векторного поля на плоскости.

Неразрешенное.

-

17-й

Выражение определенной рациональной функции в виде кванта суммы квадратов

Решили Эмиль Артин и Чарльз Делзелл. Результат: Был установлен верхний предел для необходимого количества квадратичных членов. Поиск нижнего предела все еще остается открытой проблемой.

1927

18-й

(a) Существует ли многогранник, который допускает только анисоэдральную облицовку в трех измерениях?
(b) Какова самая плотная упаковка сферы?

(a) Решено. Результат: да (по Карлу Рейнхардту).
(b) Решено Томасом Каллистером Хейлзом с помощью компьютерного доказательства. Результат: кубическая плотная упаковка и гексагональная плотная упаковка, обе имеют плотность приблизительно 74%.

(a) 1928
(b) 1998

19-й

Всегда ли решения Лагранжа аналитичны?

Решено. Результат: да, доказано Эннио де Джорджи и, независимо и разными методами, Джоном Форбсом Нэшем.

1957

20-й

Все ли вариационные задачи с определенными граничными условиями имеют решения?

Решено. Значительная тема исследований на протяжении 20-го века, завершившаяся решениями^[] для нелинейного случая.

-

21-й

Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений, имеющих предписанную монодромную группу

Решено. Результат: Да или нет, в зависимости от более точной формулировки проблемы. ^[]

-

22-й

Унификация аналитических соотношений с помощью автоморфных функций

Решено. ^[]

-

23-й

Дальнейшее развитие вариационного исчисления

Неразрешенное.

-