| Проблема | Краткое объяснение | Статус | Год решения |
| 1-й | Гипотеза континуума (то есть, не существует множества, кардинальность которого находится строго между кардинальностью целых и действительных чисел) | Доказано, что теорию множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора или без нее невозможно доказать или опровергнуть (при условии, что теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора или без нее непротиворечива, т.е. не содержит двух теорем, одна из которых является отрицанием другой). Нет единого мнения о том, является ли это решением проблемы. | 1963 |
| 2-й | Докажите, что аксиомы арифметики непротиворечивы. | Нет единого мнения о том, дают ли результаты Гёделя и Гентцена решение проблемы, сформулированной Гильбертом. Вторая теорема Гёделя о неполноте, доказанная в 1931 году, показывает, что в рамках самой арифметики невозможно доказать ее непротиворечивость. Доказательство непротиворечивости Гентцена (1936) показывает, что непротиворечивость арифметики следует из обоснованности порядкового номера ε0 . | 1936? |
| 3-й | Если даны два многогранника одинакового объема, всегда ли можно разрезать первый на конечное число многогранных частей, из которых можно собрать второй? | Решено. Результат: нет, доказано с помощью инвариантов Дена. | 1900 |
| 4-й | Постройте все метрики, в которых прямые являются геодезическими. | Слишком расплывчато, чтобы можно было сказать, решена она или нет. | - |
| 5-й | Являются ли непрерывные группы автоматически дифференциальными группами? | Решена Эндрю Глисоном или Хидехико Ямабе, в зависимости от того, как интерпретировать исходное утверждение. Однако если понимать ее как эквивалент гильбертово-смитовской гипотезы, то она остается нерешенной. | 1953? |
| 6-й | Аксиоматизировать всю физику | Частично решена. | - |
| 7-й | Является ли a bтрансцендентным для алгебраического a ≠ 0,1 и иррационального алгебраического b? | Решено. Результат: да, иллюстрируется теоремой Гельфонда или теоремой Гельфонда-Шнайдера. | 1934 |
| 8-й | Гипотеза Римана ("действительная часть любого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна ½") и другие проблемы простых чисел, в том числе гипотеза Гольдбаха и гипотеза о двойном простом числе | Неразрешенное. | - |
| 9-й | Найдите наиболее общий закон теоремы взаимности в любом алгебраическом поле чисел | Частично решена. | - |
| десятый | Найдите алгоритм, позволяющий определить, имеет ли заданное полиномиальное диофантово уравнение с целыми коэффициентами целочисленное решение. | Решено. Результат: невозможно, из теоремы Матиясевича следует, что такого алгоритма не существует. | 1970 |
| 11-й | Решение квадратичных форм с алгебраическими числовыми коэффициентами. | Частично решена. [] | - |
| 12-й | Распространить теорему Кронекера-Вебера об абелевых расширениях рациональных чисел на любое поле базовых чисел. | Частично решается с помощью теории поля классов, хотя решение не такое явное, как теорема Кронекера-Вебера. | - |
| 13-й | Решение уравнений 7-й степени с помощью непрерывных функций двух параметров. | Не решена. Проблема была частично решена Владимиром Арнольдом на основе работы Андрея Колмогорова. | 1957 |
| 14-й | Является ли кольцо инвариантов алгебраической группы, действующей на полиномиальном кольце, всегда конечно порожденным? | Решено. Результат: нет, контрпример был построен Масаёси Нагатой. | 1959 |
| 15-й | Строгое основание энумеративного исчисления Шуберта. | Частично решена. [] | - |
| 16-й | Опишите относительные положения овалов, исходящих из реальной алгебраической кривой и являющихся предельными циклами полиномиального векторного поля на плоскости. | Неразрешенное. | - |
| 17-й | Выражение определенной рациональной функции в виде кванта суммы квадратов | Решили Эмиль Артин и Чарльз Делзелл. Результат: Был установлен верхний предел для необходимого количества квадратичных членов. Поиск нижнего предела все еще остается открытой проблемой. | 1927 |
| 18-й | (a) Существует ли многогранник, который допускает только анисоэдральную облицовку в трех измерениях?
(b) Какова самая плотная упаковка сферы? | (a) Решено. Результат: да (по Карлу Рейнхардту).
(b) Решено Томасом Каллистером Хейлзом с помощью компьютерного доказательства. Результат: кубическая плотная упаковка и гексагональная плотная упаковка, обе имеют плотность приблизительно 74%. | (a) 1928
(b) 1998 |
| 19-й | Всегда ли решения Лагранжа аналитичны? | Решено. Результат: да, доказано Эннио де Джорджи и, независимо и разными методами, Джоном Форбсом Нэшем. | 1957 |
| 20-й | Все ли вариационные задачи с определенными граничными условиями имеют решения? | Решено. Значительная тема исследований на протяжении 20-го века, завершившаяся решениями[] для нелинейного случая. | - |
| 21-й | Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений, имеющих предписанную монодромную группу | Решено. Результат: Да или нет, в зависимости от более точной формулировки проблемы. [] | - |
| 22-й | Унификация аналитических соотношений с помощью автоморфных функций | Решено. [] | - |
| 23-й | Дальнейшее развитие вариационного исчисления | Неразрешенное. | - |
