Проблемы Гильберта
В 1900 году математик Дэвид Гильберт опубликовал список из 23 нерешенных математических проблем. Список проблем оказался очень влиятельным. После смерти Гильберта в его трудах была найдена еще одна проблема, которую сегодня иногда называют 24-й проблемой Гильберта. Эта проблема заключается в нахождении критериев, показывающих, что решение задачи является простейшим из возможных.
Из 23 проблем три остались нерешенными в 2012 году, три были слишком расплывчатыми для решения, а шесть могли быть решены частично. Учитывая влияние этих проблем, Математический институт Клэя в 2000 году сформулировал аналогичный список, названный "Проблемы премии тысячелетия".
Резюме
Формулировка некоторых проблем лучше, чем других. Из чисто сформулированных проблем Гильберта проблемы 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 и 21 имеют решение, которое принято консенсусом. С другой стороны, задачи 1, 2, 5, 9, 15, 18+ , и 22 имеют решения, которые частично приняты, но существуют некоторые разногласия по поводу того, решает ли оно проблему.
В решении задачи 18, о предположении Кеплера, используется доказательство с помощью компьютера. Это спорный вопрос, поскольку человек не в состоянии проверить доказательство за разумное время.
Остаются нерешенными 16, 8 (гипотеза Римана) и 12. По этой классификации 4, 16 и 23 слишком неопределенны, чтобы их можно было назвать решенными. К этому же классу относится и выведенная 24. 6 рассматривается как проблема физики, а не математики.
Таблица проблем
Двадцать три проблемы Гильберта таковы:
| Проблема | Краткое объяснение | Статус | Год решения |
| 1-й | Гипотеза континуума (то есть, не существует множества, кардинальность которого находится строго между кардинальностью целых и действительных чисел) | Доказано, что теорию множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора или без нее невозможно доказать или опровергнуть (при условии, что теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора или без нее непротиворечива, т.е. не содержит двух теорем, одна из которых является отрицанием другой). Нет единого мнения о том, является ли это решением проблемы. | 1963 |
| 2-й | Докажите, что аксиомы арифметики непротиворечивы. | Нет единого мнения о том, дают ли результаты Гёделя и Гентцена решение проблемы, сформулированной Гильбертом. Вторая теорема Гёделя о неполноте, доказанная в 1931 году, показывает, что в рамках самой арифметики невозможно доказать ее непротиворечивость. Доказательство непротиворечивости Гентцена (1936) показывает, что непротиворечивость арифметики следует из обоснованности порядкового номера ε0 . | 1936? |
| 3-й | Если даны два многогранника одинакового объема, всегда ли можно разрезать первый на конечное число многогранных частей, из которых можно собрать второй? | Решено. Результат: нет, доказано с помощью инвариантов Дена. | 1900 |
| 4-й | Постройте все метрики, в которых прямые являются геодезическими. | Слишком расплывчато, чтобы можно было сказать, решена она или нет. | - |
| 5-й | Являются ли непрерывные группы автоматически дифференциальными группами? | Решена Эндрю Глисоном или Хидехико Ямабе, в зависимости от того, как интерпретировать исходное утверждение. Однако если понимать ее как эквивалент гильбертово-смитовской гипотезы, то она остается нерешенной. | 1953? |
| 6-й | Аксиоматизировать всю физику | Частично решена. | - |
| 7-й | Является ли a bтрансцендентным для алгебраического a ≠ 0,1 и иррационального алгебраического b? | Решено. Результат: да, иллюстрируется теоремой Гельфонда или теоремой Гельфонда-Шнайдера. | 1934 |
| 8-й | Гипотеза Римана ("действительная часть любого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна ½") и другие проблемы простых чисел, в том числе гипотеза Гольдбаха и гипотеза о двойном простом числе | Неразрешенное. | - |
| 9-й | Найдите наиболее общий закон теоремы взаимности в любом алгебраическом поле чисел | Частично решена. | - |
| десятый | Найдите алгоритм, позволяющий определить, имеет ли заданное полиномиальное диофантово уравнение с целыми коэффициентами целочисленное решение. | Решено. Результат: невозможно, из теоремы Матиясевича следует, что такого алгоритма не существует. | 1970 |
| 11-й | Решение квадратичных форм с алгебраическими числовыми коэффициентами. | Частично решена. [] | - |
| 12-й | Распространить теорему Кронекера-Вебера об абелевых расширениях рациональных чисел на любое поле базовых чисел. | Частично решается с помощью теории поля классов, хотя решение не такое явное, как теорема Кронекера-Вебера. | - |
| 13-й | Решение уравнений 7-й степени с помощью непрерывных функций двух параметров. | Не решена. Проблема была частично решена Владимиром Арнольдом на основе работы Андрея Колмогорова. | 1957 |
| 14-й | Является ли кольцо инвариантов алгебраической группы, действующей на полиномиальном кольце, всегда конечно порожденным? | Решено. Результат: нет, контрпример был построен Масаёси Нагатой. | 1959 |
| 15-й | Строгое основание энумеративного исчисления Шуберта. | Частично решена. [] | - |
| 16-й | Опишите относительные положения овалов, исходящих из реальной алгебраической кривой и являющихся предельными циклами полиномиального векторного поля на плоскости. | Неразрешенное. | - |
| 17-й | Выражение определенной рациональной функции в виде кванта суммы квадратов | Решили Эмиль Артин и Чарльз Делзелл. Результат: Был установлен верхний предел для необходимого количества квадратичных членов. Поиск нижнего предела все еще остается открытой проблемой. | 1927 |
| 18-й | (a) Существует ли многогранник, который допускает только анисоэдральную облицовку в трех измерениях? | (a) Решено. Результат: да (по Карлу Рейнхардту). | (a) 1928 |
| 19-й | Всегда ли решения Лагранжа аналитичны? | Решено. Результат: да, доказано Эннио де Джорджи и, независимо и разными методами, Джоном Форбсом Нэшем. | 1957 |
| 20-й | Все ли вариационные задачи с определенными граничными условиями имеют решения? | Решено. Значительная тема исследований на протяжении 20-го века, завершившаяся решениями[] для нелинейного случая. | - |
| 21-й | Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений, имеющих предписанную монодромную группу | Решено. Результат: Да или нет, в зависимости от более точной формулировки проблемы. [] | - |
| 22-й | Унификация аналитических соотношений с помощью автоморфных функций | Решено. [] | - |
| 23-й | Дальнейшее развитие вариационного исчисления | Неразрешенное. | - |
Вопросы и ответы
Вопрос: Кто в 1900 году опубликовал список из 23 нерешенных математических проблем?
О: Дэвид Гильберт опубликовал список из 23 нерешенных математических проблем в 1900 году.
В: Входила ли 24-я проблема Гильберта в первоначальный список?
О: Нет, 24-я проблема Гильберта была найдена в записях Гильберта после его смерти.
В: О чем 24-я проблема Гильберта?
О: 24-я проблема Гильберта посвящена поиску критериев, показывающих, что решение задачи является простейшим из возможных.
В: Все ли 23 проблемы из списка Гильберта были решены к 2012 году?
О: Нет, три из 23 проблем списка Гильберта оставались нерешенными в 2012 году.
В: Были ли какие-либо проблемы из списка Гильберта слишком неопределенными, чтобы их можно было решить?
О: Да, три проблемы из списка Гильберта были слишком расплывчатыми, чтобы их можно было решить.
В: Сколько проблем из списка Гильберта можно было решить частично?
О: Шесть проблем из списка Гильберта могут быть частично решены.
В: Создал ли Математический институт Клэя список проблем, аналогичный списку Гильберта?
О: Да, Математический институт Клэя создал аналогичный список под названием "Проблемы премии тысячелетия" в 2000 году.
