Гипотеза Римана

Что такое дзета-функция Римана?

Дзета-функция Римана является одним из видов функций. В математике функции похожи на уравнения. Функции принимают числа и возвращают вам другие числа. Это похоже на то, как вы получаете ответ, когда задаете вопрос. Число, которое вы вводите, называется "вход". Число, которое вы получаете обратно, называется "значением". Каждый вход, который вы вводите в дзета-функцию Римана, дает вам в ответ особое значение. В большинстве случаев вы получаете разное значение для каждого входа. Но каждый вход дает вам одно и то же значение каждый раз, когда вы его используете. И входные данные, которые вы вводите, и значение, которое вы получаете от дзета-функции Римана, являются особыми числами, называемыми комплексными числами. Комплексное число - это число, состоящее из двух частей.

Что такое нетривиальный корень?

Иногда, когда вы вводите в дзета-функцию Римана входное значение, вы получаете в ответ число ноль. Когда это происходит, вы называете этот вход корнем дзета-функции Римана. Вы называете вход "корнем", когда он дает ноль. Было найдено множество корней. Но некоторые корни найти легче, чем другие. Мы называем корни "тривиальными" или "нетривиальными". Мы называем корень "тривиальным", если его легко найти. Но мы называем корень "нетривиальным", если его трудно найти. Тривиальные корни - это числа, называемые "отрицательными четными целыми числами". Причина, по которой мы считаем их простыми, заключается в том, что их легко найти. Существуют аккуратные правила, которые говорят о том, что такое тривиальные корни. Мы знаем, что такое тривиальные корни, благодаря уравнению, которое дал Бернхард Риман. Это уравнение называется "функциональное уравнение Римана".

Как найти нетривиальные корни?

Нетривиальные корни найти труднее. Их труднее найти, чем тривиальные корни. Они не имеют таких же четких правил, которые говорят о том, чем они являются. Несмотря на то, что их трудно найти, было найдено много нетривиальных корней. Помните, что значение дзета-функции Римана - это вид числа, называемый комплексным числом. И помните, что комплексные числа состоят из двух частей. Одна из этих частей называется "действительной частью". Мы заметили интересную вещь о действительной части нетривиальных корней. У всех найденных нами нетривиальных корней вещественная часть равна одному и тому же числу. Это число равно 1/2, что является дробью. Это подводит нас к большому вопросу Римана, который заключается в том, насколько велики действительные части. Этот вопрос и есть гипотеза Римана. Вопрос звучит так: "Все ли нетривиальные корни имеют действительную часть 1/2?". Мы все еще пытаемся выяснить, будет ли ответ "да" или "нет".

Мы пока не знаем ответа на этот вопрос. Но мы знаем несколько хороших фактов. Эти факты могут нам помочь. Есть способ, с помощью которого мы можем найти факты о действительных частях нетривиальных корней. Это с помощью специального уравнения Римана (функционального уравнения Римана). Функциональное уравнение Римана говорит нам о размере вещественных частей. Оно говорит, что все нетривиальные нули имеют действительную часть, близкую к 1/2. Оно говорит, насколько малы могут быть действительные части и насколько велики они могут быть. Но не говорится, что именно они собой представляют. В частности, говорится, что действительные части должны быть больше 0. Но они должны быть меньше 1. Но мы все еще не знаем, может ли существовать нетривиальный корень с действительной частью, очень близкой к 1/2. Возможно, он есть, просто мы его еще не нашли. Группа комплексных чисел, у которых действительная часть больше 0, но меньше 1, называется "критической полосой".

На рисунке в правом верхнем углу этой страницы изображена дзета-функция Римана. Нетривиальные корни показаны белыми точками. Кажется, что все они расположены на одной линии в центре рисунка. Они находятся не слишком далеко слева и не слишком далеко справа. На самом деле все зависит от того, насколько далеко влево-вправо вы находитесь. То, что они находятся в середине рисунка, означает, что их действительная часть равна 1/2. Таким образом, все нетривиальные корни на рисунке имеют действительную часть 1/2. Но наш рисунок не показывает всего, потому что дзета-функция Римана слишком велика, чтобы показать ее. А как насчет нетривиальных корней выше и ниже картинки? Будут ли они тоже в середине? А что если они нарушат закономерность нахождения в середине? Они могут быть немного левее или правее. Гипотеза Римана спрашивает, будет ли каждый нетривиальный корень (белая точка) лежать на линии, проходящей через середину. Если ответ отрицательный, мы говорим "гипотеза ложна". Это означает, что существуют белые точки, которые не лежат на заданной прямой.