метод Ньютона
Метод Ньютона обеспечивает способ нахождения реальных нулей функции. Этот алгоритм иногда называют методом Ньютона-Рафсона, названным в честь сэра Исаака Ньютона и Джозефа Рафсона.
Метод использует производную функции для поиска ее корней. Должно быть сделано начальное "угаданное значение" для определения местоположения нуля. Из этого значения по этой формуле вычисляется новая угадка:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n}) }} 
Здесь xn - начальная догадка, а xn+1 - следующая догадка. Функция f (для которой решается ноль) имеет производную f'.
При многократном применении этой формулы к сгенерированным догадкам (т.е. при установке значения xn на выходе и перевыполнении формулы), значение догадок приблизится к нулю функции.
Метод Ньютона можно объяснить графически, взглянув на пересечения касательных линий с осью x. Сначала вычисляется касательная к f по оси xn. Затем вычисляется пересечение этой касательной линии с осью x. Наконец, x-положение этого пересечения записывается как следующая догадка, xn+1.
Функция (синяя) используется для вычисления наклона касательной линии (красная) на xn.
Проблемы с Ньютоновским методом
Метод Ньютона может быстро найти решение, если значение догадки начинается достаточно близко к желаемому корню. Однако, когда начальное значение угадывания не близко, и в зависимости от функции, метод Ньютона может найти ответ медленно или вовсе не найти.
Дальнейшее чтение
- Фернандес, Х. А. Е. и Верон, М. А. H. (2017). Метод Ньютона: Обновленный подход теории Канторовича. Биркхаузер.
- Питер Деуфлард, Ньютоновские методы для нелинейных проблем. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Второе печатное издание. Вычислительная математика серии 35, Шпрингер (2006).
- Ямамото, Т. (2001). "Исторические события в анализе конвергенции для ньютоновских и ньютоновских методов". Брезинский К., Вуйтак Л. (ред.). Численный анализ : исторические события в 20 веке. Северная Голландия. с. 241-263.
См. также
- Теорема Канторовича (утверждение о сходимости метода Ньютона, найденное Леонидом Канторовичем)
| административный контроль |
|
Вопросы и ответы
В: Что такое метод Ньютона?
О: Метод Ньютона - это алгоритм для нахождения действительных нулей функции. Он использует производную функции для вычисления ее корней и требует начального значения для нахождения нуля.
В: Кто разработал этот метод?
О: Метод был разработан сэром Исааком Ньютоном и Джозефом Рафсоном, поэтому его иногда называют методом Ньютона-Рафсона.
В: Как работает этот алгоритм?
О: Этот алгоритм работает путем многократного применения формулы, которая принимает начальное значение догадки (xn) и вычисляет новую догадку (xn+1). Повторяя этот процесс, угаданные значения будут приближаться к нулю функции.
В: Что необходимо для использования этого алгоритма?
О: Чтобы использовать этот алгоритм, Вы должны иметь начальное "угаданное значение" для местоположения нуля, а также знания о производной заданной функции.
В: Как мы можем объяснить метод Ньютона графически?
О: Мы можем объяснить метод Ньютона графически, рассматривая пересечения касательных линий с осью x. Сначала вычисляется линия, касательная к f в точке xn. Затем мы находим пересечение этой касательной линии с осью x и записываем ее положение x как наше следующее предположение - xn+1.
В: Есть ли какие-либо ограничения при использовании метода Ньютона?
О: Да, если Ваше начальное значение слишком далеко от действительного корня, то это может занять больше времени или даже не сходиться к корню из-за колебаний вокруг него или отклонения от него.
