Квадратное число

Квадратное число, иногда также называемое совершенным квадратом, является результатом умножения целого числа на само себя. 1, 4, 9, 16 и 25 - первые пять квадратных чисел. В формулах квадрат числа n обозначается $n 2$ (экспоненция), обычно произносится как "n в квадрате". Название квадратного числа происходит от названия формы; см. ниже.

Квадратные числа неотрицательны. Другой способ сказать, что (неотрицательное) число является квадратным, заключается в том, что его квадратный корень снова является целым числом. Например, √9 = 3, поэтому 9 - квадратное число.

Примеры

Квадраты (последовательность A000290 в OEIS) размером менее 70² являются:

0² =0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² =100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

60² = 3600

61² = 3721

62² = 3844

63² = 3969

64² = 4096

65² = 4225

66² = 4356

67² = 4489

68² = 4624

69² = 4761

Существует бесконечно много квадратных чисел, как и бесконечно много натуральных чисел.

Свойства

Число m является квадратным числом тогда и только тогда, когда можно составить квадрат из m равных (меньших) квадратов:

m = 1² = 1
m = 2² = 4
m = 3² = 9
m = 4² = 16
m = 5² = 25
Примечание: Белые промежутки между квадратами служат только для улучшения визуального восприятия. Между реальными квадратами не должно быть пробелов.

Квадрат со стороной длиной n имеет площадь $n 2$ .

Выражение для n-го квадратного числа равно n² . Оно также равно сумме первых n нечетных чисел, что видно на рисунках выше, где квадрат получается из предыдущего путем добавления нечетного количества точек (показаны пурпурным цветом). Формула выглядит следующим образом:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Так, например, $52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.$

Квадратное число может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 6, 9 или 25 по основанию 10, как показано ниже:

Если последняя цифра числа равна 0, то его квадрат заканчивается четным количеством цифр 0 (то есть не менее 00), и цифры, предшествующие конечным 0, также должны образовывать квадрат.
Если последняя цифра числа равна 1 или 9, то его квадрат оканчивается на 1, а число, образованное предыдущими цифрами, должно быть кратно четырем.
Если последняя цифра числа равна 2 или 8, то его квадрат оканчивается на 4, а предыдущая цифра должна быть четной.
Если последняя цифра числа равна 3 или 7, то его квадрат оканчивается на 9, а число, образованное предыдущими цифрами, должно быть кратно четырем.
Если последняя цифра числа равна 4 или 6, то его квадрат оканчивается на 6, а предыдущая цифра должна быть нечетной.
Если последняя цифра числа равна 5, то его квадрат оканчивается на 25, а предыдущие цифры должны быть 0, 2, 06 или 56.

Квадратное число не может быть совершенным числом.

Все четвертые силы, шестые силы, восьмые силы и так далее являются совершенными квадратами.

Особые случаи

Если число имеет вид m5, где m обозначает предыдущие цифры, то его квадрат равен n25, где $n = m \times (m + 1)$ и обозначает цифры до 25. Например, квадрат числа 65 может быть вычислен по $n = 6 \times (6 + 1) = 42, что$ делает квадрат равным 4225.
Если число имеет вид m0, где m представляет собой предыдущие цифры, то его квадрат равен n00, где $n = m 2$ . Например, квадрат числа 70 равен 4900.
Если число состоит из двух цифр и имеет вид 5m, где m обозначает единичную цифру, то его квадрат равен AABB, где $AA = 25 + m$ и $BB = m 2$ . Пример: Чтобы вычислить квадрат числа 57, 25 + 7 = 32 и 7² = 49, что означает 57² = 3249.

Четные и нечетные квадратные числа

Квадраты четных чисел четны (и на самом деле кратны 4), так как $(2n) 2 = 4n 2$ .

Квадраты нечетных чисел нечетны, так как $(2n + 1) 2 = 4(n 2 + n) + 1.$

Из этого следует, что квадратные корни из четных квадратных чисел четные, а квадратные корни из нечетных квадратных чисел нечетные.

Поскольку все четные квадратные числа кратны 4, то четные числа вида $4n + 2$ не являются квадратными.

Поскольку все нечетные квадратные числа имеют вид $4n + 1$ , то нечетные числа вида $4n + 3$ не являются квадратными.

Квадраты нечетных чисел имеют вид $8n + 1$ , так как $(2n + 1) 2 = 4n(n + 1) + 1$ , а $n (n + 1)$ - четное число.