Квадратное число

Квадраты (последовательность A000290 в OEIS) размером менее 70² являются:

Существует бесконечно много квадратных чисел, как и бесконечно много натуральных чисел.

Число m является квадратным числом тогда и только тогда, когда можно составить квадрат из m равных (меньших) квадратов:

Квадрат со стороной длиной n имеет площадь n² .

Выражение для n-го квадратного числа равно n² . Оно также равно сумме первых n нечетных чисел, что видно на рисунках выше, где квадрат получается из предыдущего путем добавления нечетного количества точек (показаны пурпурным цветом). Формула выглядит следующим образом:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). }

Так, например, 5² =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Квадратное число может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 6, 9 или 25 по основанию 10, как показано ниже:

1. Если последняя цифра числа равна 0, то его квадрат заканчивается четным количеством цифр 0 (то есть не менее 00), и цифры, предшествующие конечным 0, также должны образовывать квадрат.
2. Если последняя цифра числа равна 1 или 9, то его квадрат оканчивается на 1, а число, образованное предыдущими цифрами, должно быть кратно четырем.
3. Если последняя цифра числа равна 2 или 8, то его квадрат оканчивается на 4, а предыдущая цифра должна быть четной.
4. Если последняя цифра числа равна 3 или 7, то его квадрат оканчивается на 9, а число, образованное предыдущими цифрами, должно быть кратно четырем.
5. Если последняя цифра числа равна 4 или 6, то его квадрат оканчивается на 6, а предыдущая цифра должна быть нечетной.
6. Если последняя цифра числа равна 5, то его квадрат оканчивается на 25, а предыдущие цифры должны быть 0, 2, 06 или 56.

Квадратное число не может быть совершенным числом.

Все четвертые силы, шестые силы, восьмые силы и так далее являются совершенными квадратами.

• Если число имеет вид m5, где m обозначает предыдущие цифры, то его квадрат равен n25, где n = m × (m + 1) и обозначает цифры до 25. Например, квадрат числа 65 может быть вычислен по n = 6 × (6 + 1) = 42, что делает квадрат равным 4225.
• Если число имеет вид m0, где m представляет собой предыдущие цифры, то его квадрат равен n00, где n = m² . Например, квадрат числа 70 равен 4900.
• Если число состоит из двух цифр и имеет вид 5m, где m обозначает единичную цифру, то его квадрат равен AABB, где AA = 25 + m и BB = m² . Пример: Чтобы вычислить квадрат числа 57, 25 + 7 = 32 и 7² = 49, что означает 57² = 3249.

Квадраты четных чисел четны (и на самом деле кратны 4), так как (2n)² = 4n² .

Квадраты нечетных чисел нечетны, так как (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

Из этого следует, что квадратные корни из четных квадратных чисел четные, а квадратные корни из нечетных квадратных чисел нечетные.

Поскольку все четные квадратные числа кратны 4, то четные числа вида 4n + 2 не являются квадратными.

Поскольку все нечетные квадратные числа имеют вид 4n + 1, то нечетные числа вида 4n + 3 не являются квадратными.

Квадраты нечетных чисел имеют вид 8n + 1, так как (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1, а n(n + 1) - четное число.