Квадратный корень из 2

Автор: Leandro Alegsa Дата создания: 18 июня 2022 г.

Квадратный корень из 2, или (1/2)-я сила 2, в математике записывается как √2 или $2 $ ^1⁄₂ , - это положительное иррациональное число, которое при умножении на себя равно числу 2. Правильнее его называть главным квадратным корнем из 2, чтобы отличить его от отрицательной версии, где это также верно.

Геометрически квадратный корень из 2 - это длина диагонали квадрата со сторонами, длина которых равна единице; ее можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы правильного треугольника с ножками длиной 1

Доказательство того, что квадратный корень из 2 не является рациональным

Число 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ не является рациональным. Вот доказательство.

Предположим, что 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ рационально. Значит, существуют некоторые числа a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ такие, что a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} $a/b={\sqrt {2}}$ .
Мы можем выбрать a и b так, чтобы либо a, либо b были нечетными. Если бы a и b были четными, то дробь можно было бы упростить (например, вместо того, чтобы написать 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}} ${\frac {2}{4}}$ , можно написать 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Если обе стороны уравнения возвести в квадрат, то получим a² / b² = 2 и a² = 2 b² .
Правая часть равна 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}}. $2b^{2}$ . Это число четное. Значит, левая часть тоже должна быть четной. Значит, a 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ - четное. Если нечетное число возвести в квадрат, то результатом будет нечетное число. А если возвести в квадрат четное число, то результатом будет тоже четное число. Поэтому {\displaystyle a} - четное.
Поскольку a четное, его можно записать так: a = 2 k {\displaystyle a=2k} $a=2k$ .
Используется уравнение из шага 3. Получаем 2b² = (2k)²
Можно использовать правило экспоненты (см. статью) - результат 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}}. $2b^{2}=4k^{2}$ .
Обе стороны делятся на 2. Значит, b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}}. $b^{2}=2k^{2}$ . Это означает, что b {\displaystyle b} $b$ четное.
На шаге 2 мы сказали, что a нечетно или b нечетно. Но в шаге 4 было сказано, что a - четное, а в шаге 7 - что b - четное. Если предположение, которое мы сделали на шаге 1, истинно, то все эти другие вещи должны быть истинными, но поскольку они не согласуются друг с другом, они не могут быть истинными все; это означает, что наше предположение не истинно.

Неверно, что 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ - рациональное число. Поэтому 2 {\displaystyle {\sqrt {2}} ${\sqrt {2}}$ - иррациональное число.