Константная функция

Основные свойства

Формально константная функция f(x):R→R имеет форму f( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} . Обычно мы пишем y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} или просто y = c {\displaystyle y=c} .

• В функции y=c есть 2 переменные x и у и 1 константа c. (В таком виде функции мы не видим x, но она есть).

• Константа c - это реальное число. Перед работой с линейной функцией мы заменяем c на действительное число.
• Домен или вход y=c - это R. Таким образом, может быть введено любое вещественное число x. Однако, выход всегда является значением c.
• Диапазон y=c также R. Однако, поскольку выход всегда является значением c, кодоменом является только c.

Пример: Функция y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} или просто y = 4 {\displaystyle y=4}является специфической константной функцией, где выходное значение c = 4 {\displaystyle c=4} . Доменом являются все вещественные числа ℝ. Кодоменом является просто {4}. А именно, y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4,....x является входным, выходное значение равно "4".

• График константной функции y = c {\displaystyle y=c} представляет собой горизонтальную линию на плоскости, проходящую через точку ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)} .
• Если c≠0, то константной функцией y=c является многочлен в одной переменной x нулевой степени.

• Y-перехват этой функции является точкой (0,c).
• У этой функции нет икс-перехвата. То есть, у нее нет ни корня, ни нуля. Она никогда не пересекает ось Х.

• Если c=0, то мы имеем y=0. Это нулевой многочлен или идентично нулевой функции. Каждое вещественное число x является корнем. График y=0 - это ось x в плоскости.
• Константная функция - это равномерная функция, поэтому ось y - это ось симметрии для каждой постоянной функции.

Дериват постоянной функции

В контексте определения производная функции измеряет скорость изменения значений функции (выхода) относительно изменения входных значений. Константная функция не изменяется, поэтому ее производная равна 0. Часто это записывается:   ( ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0}  

Пример: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}y является идентично нулевая функция y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0}  

Обратное (наоборот) тоже верно. То есть, если производная функции везде равна нулю, то функция является константной.

Математически мы пишем эти два утверждения:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c,,,\Leftrightarrow ,,y'(x)=0,,,,\forall x\in \mathbb {R} }.

Обобщение

Функция f : A → B является константной функцией, если f(a) = f(b) для каждого a и b в A.

Примеры

Пример из реального мира: Магазин, где каждый товар продается за 1 евро. Доменом этой функции являются товары в магазине. Кодомен равен 1 евро.

Пример: Пусть f : A → B, где A={X,Y,Z,W} и B={1,2,3} и f(a)=3 для каждого a∈A. Тогда f является константной функцией.

Пример: z(x,y)=2 - константная функция от A=ℝ² до B=ℝ, где каждая точка (x,y)∈ℝ² сопоставляется со значением z=2. График этой константной функции представляет собой горизонтальную плоскость (параллельную плоскости x0y) в 3-х мерном пространстве, проходящем через точку (0,0,2).

Пример: Полярная функция ρ(φ)=2.5 является константной функцией, которая привязывает каждый угол φ к радиусу ρ=2.5. График этой функции представляет собой окружность радиуса 2,5 в плоскости.

Другие свойства

Существуют и другие свойства постоянных функций. См. раздел "Постоянные функции" в английской Википедии.

Связанные страницы

• Функция
• Полиномиальный