Выпуклый регулярный 4-политоп

В математике выпуклый регулярный 4-политоп (или полихорон) - это четырехмерный (4D) политоп, который является одновременно регулярным и выпуклым. Это четырехмерные аналоги платоновых твердых тел (в трех измерениях) и правильных многоугольников (в двух измерениях).

Эти политопы были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века. Шлефли обнаружил, что существует ровно шесть таких фигур. Пять из них можно рассматривать как более высокоразмерные аналоги платоновых твердых тел. Есть еще одна фигура (24-ячейка), которая не имеет трехмерного эквивалента.

Каждый выпуклый регулярный 4-политоп ограничен набором трехмерных ячеек, которые являются платоновыми твердыми телами одного типа и размера. Они подогнаны друг к другу вдоль соответствующих граней регулярным образом.

Свойства

В следующих таблицах перечислены некоторые свойства шести выпуклых регулярных многочленов. Группы симметрии этих полихоров являются группами Коксетера и даны в обозначениях, описанных в той статье. Число, следующее за названием группы, является порядком группы.

Имена	Семья	Schläfli символ	Вершины	Края	Лица	Клетки	Вершинные фигуры	Двойной политоп	Группа симметрии
Пентахорон5-целлпентатопгиперпирамидагипертетраэдр4-симплекс	симплекс (n-симплекс)	{3,3,3}	5	10	10 треугольники	5 тетраэдры	тетраэдры	(самодуальная)	A₄	120
Тессерактоктахорон8-ячейкагиперкуб4-куб	гиперкуб (n-куб)	{4,3,3}	16	32	24 квадраты	8 кубики	тетраэдры	16-ячейка	B₄	384
Гексадекахорон16-клеточныйортоплексгипероктаэдр4-ортоплекс	кросс-политоп (n-ортоплекс)	{3,3,4}	8	24	32 треугольники	16 тетраэдры	октаэдры	тессеракт	B₄	384
Икоситетрахорон24-целоктаплексполиоктаэдр		{3,4,3}	24	96	96 треугольники	24 октаэдры	кубики	(самодуальная)	F₄	1152
Гекатоникосахорон120-цельдодекаплексгипердодекаэдрполидодекаэдр		{5,3,3}	600	1200	720 пятиугольники	120 додекаэдры	тетраэдры	600-ячейка	H₄	14400
Гексакосихорон600-клеточныйтетраплексгиперикосаэдрполитетраэдр		{3,3,5}	120	720	1200 треугольники	600 тетраэдры	икосаэдры	120-ячейка	H₄	14400

Поскольку границы каждой из этих фигур топологически эквивалентны 3-сфере, характеристика Эйлера которой равна нулю, мы имеем 4-мерный аналог полиэдральной формулы Эйлера:

N0 - N +1 N 2- N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

где N_k обозначает количество k граней в политопе (вершина - это 0-грань, ребро - это 1-грань и т.д.).

Визуализации

В следующей таблице показаны некоторые двумерные проекции этих политопов. Различные другие визуализации можно найти на других сайтах ниже. Графики диаграмм Коксетера-Динкина также приведены под символом Шлефли.

5-ячейка	8-ячейка	16-ячейка	24-ячейка	120-ячейка	600-ячейка
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Ортографические проекции каркаса внутри полигонов Петри.

Твердые ортографические проекции
тетраэдрическая оболочка (ячейка/вершина-центрированная)	кубическая оболочка (центрированная по ячейкам)	октаэдрический конверт (центрированный по вершинам)	кубооктаэдрический конверт (центрированный по ячейкам)	усеченный ромбиктриаконтаэдрический конверт (центрированный по ячейкам)	Пентакис икосидодекаэдрический конверт (вершина-центрированная)
Диаграммы Шлегеля (Перспективная проекция)
(В центре клетки)	(В центре клетки)	(В центре клетки)	(В центре клетки)	(В центре клетки)	(Вершина-центрированная)
Стереографические проекции в виде каркаса (гиперсферические)

Вопросы и ответы

В: Что такое выпуклый регулярный 4-политоп?

Ответ: Выпуклый регулярный 4-политоп - это 4-мерный политоп, который является одновременно регулярным и выпуклым.

В: Каковы аналоги выпуклых регулярных 4-политопов в трех и двух измерениях?

О: Аналогами выпуклых правильных 4-политопов в трех измерениях являются Платоновы твердые тела, а в двух измерениях - правильные многоугольники.

В: Кто впервые описал выпуклые правильные 4-политопы?

О: Швейцарский математик Людвиг Шлефли впервые описал выпуклые правильные 4-политопы в середине 19 века.

В: Сколько существует выпуклых регулярных 4-политопов?

О: Существует ровно шесть выпуклых правильных 4-политопов.

В: В чем уникальность 24-клеточного политопа среди выпуклых регулярных 4-политопов?

О: У 24-клеточного политопа нет трехмерного эквивалента среди выпуклых регулярных 4-политопов.

В: Какие трехмерные ячейки ограничивают каждый выпуклый регулярный 4-политоп?

О: Каждый выпуклый регулярный 4-политоп ограничен набором трехмерных ячеек, которые являются платоновыми твердыми телами одного типа и размера.

В: Как 3-мерные ячейки расположены вместе в выпуклом регулярном 4-политопе?

О: В выпуклом регулярном 4-политопе трехмерные ячейки подогнаны друг к другу вдоль их соответствующих граней регулярным образом.