Цилиндр

В обиходе под цилиндром понимается конечное сечение правильного кругового цилиндра, т.е. цилиндра с образующими линиями, перпендикулярными основаниям, концы которого замкнуты и образуют две круговые поверхности, как на рисунке (справа). Если цилиндр имеет радиус r и длину (высоту) h, то его объем определяется как:

V = πrh²

а площадь его поверхности составляет:

• площадь вершины (πr²) +
• площадь дна (πr²) +
• область бока (2πrh).

Таким образом, без учета верхней или нижней части (боковая площадь), площадь поверхности составляет:

A = 2πrh.

Сверху и снизу площадь поверхности составляет:

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

При заданном объеме цилиндр с наименьшей площадью поверхности имеет h = 2r. Для данной площади поверхности цилиндр с наибольшим объемом имеет h = 2r, т.е. цилиндр помещается в куб (высота = диаметр).

Имея правильный круговой цилиндр высотой h единиц и основанием радиуса r единиц с координатными осями, выбранными так, что начало координат находится в центре одного основания, а высота измеряется вдоль положительной оси x. Сечение плоскости на расстоянии x единиц от начала координат имеет площадь A(x) квадратных единиц, где

A ( x ) = π r {\displaystyle2 A(x)=\pi r^{2}}

или

A ( y ) = π r {\displaystyle2 A(y)=\pi r^{2}}

Элементом объема, является правильный цилиндр с площадью основания Aw_i квадратных единиц и толщиной Δx_i единиц. Таким образом, если V кубических единиц - объем правого кругового цилиндра, то по суммам Римана,

V o l u m e o f c y l i n d e r = lim | | | | Δ → | 0| ∑ i = n 1A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {объем\;из\;цилиндр} =\lim _{||\Delta \to 0|||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫0 h A ( y ) d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫0 h π r d 2y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Используя цилиндрические координаты, объем может быть вычислен интегрированием по

= ∫0 h ∫02 π ∫ 0r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Цилиндрические сечения - это пересечения цилиндров с плоскостями. Для правильного кругового цилиндра существует четыре варианта. Плоскость, касательная к цилиндру, пересекает цилиндр по одной прямой. Двигаясь параллельно самой себе, плоскость либо не пересекает цилиндр, либо пересекает его по двум параллельным прямым. Все остальные плоскости пересекают цилиндр по эллипсу или, если они перпендикулярны оси цилиндра, по окружности.

Эллиптический цилиндр, или цилиндроид, - это квадрическая поверхность со следующим уравнением в декартовых координатах:

( x a ) +2 ( y b ) = 21. {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}

Это уравнение для эллиптического цилиндра, обобщения обычного кругового цилиндра (a = b). Еще более общим является обобщенный цилиндр: его поперечное сечение может быть любой кривой.

Цилиндр является вырожденным квадриком, поскольку по крайней мере одна из координат (в данном случае z) не фигурирует в уравнении.

У наклонного цилиндра верхняя и нижняя поверхности смещены относительно друг друга.

Существуют и другие, более необычные типы цилиндров. Это воображаемые эллиптические цилиндры:

( x a ) +2 ( y b ) =2 - 1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}

гиперболический цилиндр:

( x a )2 - ( y b ) = 2{\displaystyle1 \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}

и параболический цилиндр:

x +2 a 2y = 0. {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

В проективной геометрии цилиндр - это просто конус, вершина которого находится на бесконечности.

Это полезно при определении вырожденных коник, которые требуют рассмотрения цилиндрических коник.