гамма-функция
В математике гамма-функция (Γ(z)) является расширением факториальной функции для всех комплексных чисел, кроме отрицательных целых чисел. Для целых положительных чисел она определяется как Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } 
Гамма-функция определяется для всех комплексных чисел. Но для отрицательных целых чисел и нуля она не определена. Для комплексного числа, вещественная часть которого не является отрицательным целым числом, функция определяется:
Гамма-функция вдоль части реальной оси
Свойства
Особые значения
Некоторые конкретные значения гамма-функции:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\Gamma (1)&=0!&=1\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\Gamma (2)&=1!&=1\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\Gamma (3)&=2!&=2\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\Gamma (4)&=3!&=6\end{array}}} 
Функция Pi
Гаусс ввел функцию "Пи". Это еще один способ обозначить гамма-функцию. С точки зрения гамма-функции, функция Пи - это
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1) =z;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1},{\frac {{\rm {d}}t}{t}},} 
чтобы
Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi(n)=n!,,} 
для каждого неотрицательного целого n.
Заявления
Аналитическая теория чисел
Гамма-функция используется для изучения дзета-функции Римана. Свойством дзета-функции Римана является ее функциональное уравнение:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } 
Бернхард Риман обнаружил связь между этими двумя функциями. Так было в 1859 году в статье "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("О количестве первичных чисел меньше заданного количества").
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z);\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1};{\frac {dt}{t}}. } 
Вопросы и ответы
В: Что такое гамма-функция в математике?
О: Гамма-функция является ключевой темой в области специальных функций в математике.
В: Что такое распространение факториальной функции на все комплексные числа, кроме отрицательных целых чисел?
О: Гамма-функция является расширением факториальной функции на все комплексные числа, кроме целых отрицательных.
В: Как определяется гамма-функция для положительных целых чисел?
О: Для положительных целых чисел гамма-функция определяется как Γ(n) = (n-1)!
В: Определяется ли гамма-функция для всех комплексных чисел?
О: Да, гамма-функция определена для всех комплексных чисел.
В: Определена ли гамма-функция для отрицательных целых чисел и нуля?
О: Нет, гамма-функция не определена для отрицательных целых чисел и нуля.
В: Как определяется гамма-функция для комплексного числа, действительная часть которого не является отрицательным целым числом?
О: Гамма-функция определяется для комплексного числа, вещественная часть которого не является отрицательным целым числом, по специальной формуле, которая не приводится в тексте.
В: Почему гамма-функция важна для математики?
О: Гамма-функция важна для математики, потому что она является ключевой темой в области специальных функций и распространяет факториальную функцию на все комплексные числа, кроме отрицательных целых.
