Полярный момент инерции

Примечание: В различных дисциплинах термин "момент инерции" используется для обозначения различных моментов. В физике момент инерции - это строго второй момент массы по отношению к расстоянию от оси, который характеризует угловое ускорение объекта за счет приложенного крутящего момента. В инженерной (особенно механической и гражданской) области момент инерции обычно относится ко второму моменту. При считывании полярного момента инерции обратите внимание на то, что он относится к "полярному второму моменту области", а не к моменту инерции. Полярный второй момент области будет иметь единицы длины до четвертой мощности (например, m 4 {\displaystyle m^{4}} или i n 4 {\displaystyle in^{4}} , а момент инерции - это массовая временная длина в квадрате (например, k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} или l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}. ).

Полярный второй момент области (также называемый "полярным моментом инерции") является мерой способности объекта сопротивляться скручиванию в зависимости от его формы. Это один из аспектов второго момента области, связанного через теорему оси перпендикуляра, где плоский второй момент области использует форму поперечного сечения балки для описания ее сопротивления деформации (изгибу) при воздействии силы, приложенной в плоскости, параллельной ее нейтральной оси, полярный второй момент области использует форму поперечного сечения балки для описания ее сопротивления деформации (кручению) при воздействии момента (крутящего момента) в плоскости, перпендикулярной оси нейтрали балки. В то время как плоскостной второй момент площади чаще всего обозначается буквой I {\displaystyle I} , полярный второй момент площади чаще всего обозначается буквой I z {\displaystyle I_{z}}. или письмо, J {\displaystyle J} в учебниках по инженерии.

Расчетные значения для полярного второго момента зоны чаще всего используются для описания сопротивления твердого или полого цилиндрического вала кручению, как в оси автомобиля или приводном валу. При применении к нецилиндрическим балкам или валам расчеты для полярного второго момента площади становятся ошибочными из-за деформации вала/балки. В этих случаях следует использовать торсионную константу, где к расчету значения добавляется корректирующая константа.

Полярный второй момент площади несет единицы длины до четвертой власти ( L 4 {\displaystyle L^{4}}); метры до четвертой власти ( m 4 {\displaystyle m^{4}}) в системе метрических единиц, и дюймы до четвертой власти ( i n 4 {\displaystyle in^{4}}) в системе имперских единиц. Математическая формула для прямого вычисления приведена в виде кратного интеграла над областью фигуры, R {\displaystyle R}. на расстоянии ρ {\displaystyle \rho } от произвольной оси O {\displaystyle O} .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} .

В самом простом виде полярное второе мгновение области - это суммирование двух плоских вторых мгновений области, I x {\displaystyle I_{x}} и I y {\displaystyle I_{y}} . Используя пифагорейскую теорему, расстояние от оси O {\displaystyle O}. ρ {\displaystyle \rho } может быть разбито на компоненты x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y}, а изменение области, d A {\displaystyle dA}. ...взломал его компоненты x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y}, d x {\displaystyle dx} и d y {\displaystyle dy}.

Учитывая две формулы для планарных вторых моментов области:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdxdy} и я = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdxdy}

Отношение к полярному второму моменту области может быть показано как:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdxdy}

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdxdy}

∴ J = I x + I y {\displaystyle \therefore J=I_{x}+I_{y}}

По существу, с увеличением величины полярного второго момента площади (т.е. формы поперечного сечения крупного объекта), потребуется больше крутящего момента, чтобы вызвать крутильное смещение объекта. Однако следует отметить, что это никак не влияет на крутильную жесткость, обеспечиваемую объекту его составляющими материалами; полярный второй момент площади - это просто жесткость, обеспечиваемая объекту только его формой. Крутильная жесткость, обеспечиваемая характеристиками материала, известна как модуль сдвига, G {\displaystyle G} . Соединяя эти две составляющие жесткости, можно рассчитать угол изгиба балки, θ {\displaystyle \theta }. используя:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}

Где T {\displaystyle T} - момент приложения (крутящий момент) и l {\displaystyle l} - длина балки. Как показано, более высокие крутящие моменты и длина балки приводят к более высоким угловым прогибам, где более высокие значения для полярного второго момента области, J {\displaystyle J} и модуль сдвига материала, G {\displaystyle G} снижает вероятность угловых прогибов.

Вопросы и ответы

В: Что такое момент инерции в физике?

В: К чему относится полярный второй момент площади в технике?

В: Как вычислить полярный второй момент площади?

Поиск по букве