Определитель

Есть несколько способов понять, что детерминант говорит о матрице.

Геометрическая интерпретация

Матрица n × n {\displaystyle n\times n} характеризует линейную карту в n {\displaystyle n} размерах. В этом случае детерминант указывает фактор, по которому эта матрица масштабирует (увеличивает или уменьшает) область n {\displaystyle n} -мерное пространство.

Например, 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} матрица A {\displaystyle A} рассматриваемый как линейная карта, превратит квадрат в 2-х мерном пространстве в параллелограмм. Область этой параллелограммы будет детектироваться ( A ) {\displaystyle \det(A)} раз больше площади квадрата.

Точно так же матрица 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} матрица B {\displaystyle B}, воспринимаемая как линейная карта, превратит куб в трехмерном пространстве в параллелепипед. Объем этого параллелепипеда будет детектироваться ( B ) {\displaystyle \det(B)} раз больше объема куба.

Детерминант может быть отрицательным. Линейная карта может растягивать и масштабировать объем, но также может отражать его по оси. Всякий раз, когда это происходит, знак детерминанта меняется с положительного на отрицательный, или с отрицательного на положительный. Отрицательный детерминант означает, что объем был отражен по нечетному числу осей.

Интерпретация "Системы уравнений"

Можно увидеть матрицу, описывающую систему линейных уравнений. Эта система имеет уникальное нетривиальное решение именно тогда, когда детерминант не равен 0. (Нетривиальное означает, что решение - это не просто все нули).

Если детерминант равен нулю, то либо нет уникального нетривиального решения, либо их бесконечно много.

Матрица имеет обратную матрицу именно тогда, когда детерминант не равен 0. По этой причине матрица с ненулевым определителем называется инвертируемой. Если детерминант равен 0, то матрицу называют неинвертируемой или сингулярной.

Геометрически можно представить себе сингулярную матрицу как "сплющивающую" параллелепипед в параллелограмму или параллелограмм в линию. Тогда объем или площадь равна 0, и нет линейной карты, которая бы вернула старую форму.

Есть несколько способов вычислить детерминант.

Формулы для маленьких матриц

• Для 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} и 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} матриц можно запомнить формулы:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. }

• Для матриц 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} формула есть:

Det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Вы можете использовать Правило Сарруса (см. рисунок), чтобы запомнить эту формулу.

Расширение кофактора

Для более крупных матриц определитель сложнее вычислить. Один из способов сделать это называется кофакторным расширением.

Допустим, у нас есть n × n {\displaystyle n\times n} матрица A {\displaystyle A} . Сначала мы выбираем любую строку или столбец матрицы. Для каждого числа i j {\displaystyle a_{ij}} в этой строке или столбце мы вычисляем нечто, называемое кофактором C i j {\displaystyle C_{ij}}. . Затем det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}} .

Вычислить такой кофактор C i j {\displaystyle C_{ij}} мы стираем строку i {\displaystyle i} и колонку j {\displaystyle j} из матрицы A {\displaystyle A}. Это дает нам матрицу поменьше ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)}. Мы называем ее M {\displaystyle M} . Софактор C i j {\displaystyle C_{ij}} затем равняется ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Приведем пример кофакторного расширения левой колонки матрицы 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3}:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{подпись}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2{\color {red}2}&1&1{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}и={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{{31}&=\left({\color {red}1}\cdot (-1) ^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot(-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\1&1\end{bmatrix}}\right)&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}&=-11.\end{aligned}}}

Как вы можете видеть здесь, мы можем сохранить работу, выбрав строку или столбец, в котором много нулей. Если i j {\displaystyle a_{ij}} равно 0, то нам не нужно вычислять C i j {\displaystyle C_{ij}}. .

• Том