Параллелепипед

Любая из трех пар параллельных граней может рассматриваться как плоскости основания призмы. Параллелепипед имеет три набора из четырех параллельных граней; ребра внутри каждого набора имеют одинаковую длину.

Параллелепипеды получаются в результате линейных преобразований куба (для невырожденных случаев: биективных линейных преобразований).

Поскольку каждая грань обладает точечной симметрией, параллелепипед является зоноэдром. Также весь параллелепипед обладает точечной симметрией C_i (см. также триклинный). Каждая грань является зеркальным отражением противоположной грани. Грани в общем случае являются хиральными, но параллелепипед таковым не является.

Заполняющая пространство тесселяция возможна с конгруэнтными копиями любого параллелепипеда.

Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания A и высоты h. Основание - это любая из шести граней параллелепипеда. Высота - это расстояние по перпендикуляру между основанием и противоположной гранью.

Альтернативный метод определяет векторы a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) и c = (c₁, c₂, c₃) для представления трех ребер, которые пересекаются в одной вершине. Тогда объем параллелепипеда равен абсолютному значению скалярного тройного произведения a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Это верно, потому что, если мы выберем b и c для обозначения краев основания, площадь основания будет, по определению, равна произведению крестов (см. геометрический смысл произведения крестов),

A = | b | | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

где θ - угол между b и c, а высота составляет

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

где α - внутренний угол между a и h.

Из рисунка можно сделать вывод, что величина α ограничена 0° ≤ α < 90°. Напротив, вектор b × c может образовывать с a внутренний угол β больше 90° (0° ≤ β ≤ 180°). То есть, поскольку b × c параллелен h, то значение β либо β = α, либо β = 180° - α. Таким образом

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

и

h = | a | | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Мы пришли к выводу, что

V = A h = | a | | | b × c | | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

которое по определению скалярного (или точечного) произведения равно абсолютному значению a - (b × c), Q.E.D.

Последнее выражение также эквивалентно абсолютному значению определителя трехмерной матрицы, построенной с использованием a, b и c в качестве строк (или столбцов):

V = | det [ a a1 a 2b3 b 1b 2c3 c c 1c 2]3 | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Он находится с помощью правила Крамера для трех уменьшенных двумерных матриц, полученных из исходной.

Если a, b и c - длины граней параллелепипеда, а α, β и γ - внутренние углы между гранями, то его объем равен

V = a b c +1 cos 2( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos (2 α ) - cos (2 β ) - cos (2 γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Соответствующий тетраэдр

Объем любого тетраэдра, имеющего три сходящиеся грани параллелепипеда, равен одной шестой объема этого параллелепипеда (см. доказательство).

Для параллелепипедов с плоскостью симметрии возможны два случая:

• имеет четыре прямоугольные грани
• у него две ромбические грани, а из остальных граней две соседние равны и две другие тоже (эти две пары являются зеркальным отражением друг друга).

См. также моноклинный.

Прямоугольный кубоид, также называемый прямоугольным параллелепипедом или иногда просто кубоидом, - это параллелепипед, все грани которого прямоугольные; куб - это кубоид с квадратными гранями.

Ромбоэдр - это параллелепипед со всеми ромбическими гранями; тригональный трапецоэдр - это ромбоэдр с конгруэнтными ромбическими гранями.

Совершенный параллелепипед - это параллелепипед с ребрами целой длины, диагоналями граней и диагоналями пространства. В 2009 году было доказано существование десятков совершенных параллелепипедов, что стало ответом на открытый вопрос Ричарда Гая. Один из примеров имеет ребра 271, 106 и 103, малые диагонали граней 101, 266 и 255, большие диагонали граней 183, 312 и 323 и пространственные диагонали 374, 300, 278 и 272.

Известны некоторые совершенные параллелопипеды с двумя прямоугольными гранями. Но неизвестно, существуют ли такие, у которых все грани прямоугольные; такой случай называется совершенным кубоидом.

Коксетер назвал обобщение параллелепипеда в более высоких измерениях параллелотопом.

В частности, в n-мерном пространстве он называется n-мерным параллелотопом, или просто n-параллелотопом. Таким образом, параллелограмм является 2-параллелотопом, а параллелепипед - 3-параллелотопом.

В более общем случае параллелотоп, или параллелотоп Вороного, имеет параллельные и конгруэнтные противоположные грани. Таким образом, 2-параллелотоп - это параллелограмм, который также может включать некоторые шестиугольники, а 3-параллелотоп - это параллелоэдр, включающий 5 типов многогранников.

Диагонали n-параллелотопа пересекаются в одной точке и пересекаются в этой точке. Инверсия в этой точке оставляет n-параллелотоп неизменным. См. также неподвижные точки групп изометрии в евклидовом пространстве.

Края, исходящие из одной вершины k-параллелотопа, образуют k-кадр ( v ,1 ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} векторного пространства, и параллелотоп может быть восстановлен из этих векторов путем взятия линейных комбинаций векторов с весами от 0 до 1.

Объем n-параллелотопа, вложенного в R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, где m ≥ n {\displaystyle m\geq n}, может быть вычислен с помощью определителя Грама. Альтернативно, объем является нормой внешнего произведения векторов:

V = ‖ v ∧1 ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Если m = n, то это равно абсолютной величине детерминанта n векторов.

Другая формула для вычисления объема n-параллелотопа P в R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} , n + 1 вершин которого V, 0V,1 ..., V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}} , является

V o l ( P ) = | d e t ( [ V ] 01T , [ V ]11 T , ... , [ V n ]1 T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

где [ V i ]1 {\displaystyle [V_{i}\ 1]} - вектор ряда, образованный объединением V i {\displaystyle V_{i}} и 1. Действительно, определитель не меняется, если [ V ]01 {\displaystyle [V_{0}\ 1]} вычесть из [ V i ] 1{\displaystyle [V_{i}\ 1]}. (i > 0), а размещение [ V ] 01{\displaystyle [V_{0}\ 1]} в последней позиции меняет только знак.

Аналогично, объем любого n-сложения, имеющего n сходящихся ребер параллелотопа, равен одной 1/n! части объема этого параллелотопа.

Это слово встречается как parallelipipedon в переводе "Элементов" Евклида, выполненном сэром Генри Биллингсли в 1570 году. В издании 1644 года своего "Курса математики" Пьер Эригон использовал написание parallelepipedum. Оксфордский словарь английского языка приводит современное написание параллелепипеда как впервые появившееся в книге Уолтера Чарльтона "Chorea gigantum" (1663).

Словарь Чарльза Хаттона (1795) показывает parallelopiped и parallelopipedon, демонстрируя влияние комбинированной формы parallelo-, как если бы второй элемент был pipedon, а не epipedon. Ной Вебстер (1806) включает написание parallelopiped. В издании Оксфордского словаря английского языка 1989 года parallelopiped (и parallelipipiped) прямо описываются как неправильные формы, но в издании 2004 года они перечислены без комментариев, и приведены только варианты произношения с ударением на пятом слоге pi (/paɪ/).

Отход от традиционного произношения скрыл различное разделение, предложенное греческими корнями, с epi- ("на") и pedon ("земля") в сочетании, чтобы дать epiped, плоскую "плоскость". Таким образом, грани параллелепипеда являются плоскими, а противоположные грани - параллельными.